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■52123
/ 親記事)
複素数
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□投稿者/ 複素数
一般人(3回)-(2023/03/06(Mon) 10:10:33)
複素数x,y,zが
x+y+z=x^7+y^7+z^7=0かつxyz≠0
を満たしているとき
x^2+y^2+z^2
の値を教えて下さい。
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■52124
/ ResNo.1)
Re[1]: 複素数
▲
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□投稿者/ らすかる
一般人(7回)-(2023/03/06(Mon) 12:39:42)
x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0
x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1
ab=kとおく。条件からk≠0。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k
a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1
a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1
a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1
7k^3-14k^2+7k-1=-1
7k^3-14k^2+7k=0
k^2-2k+1=0
(k-1)^2=0
k=1
∴a^2+b^2=1-2k=-1
a^2+b^2+1=0
(x/z)^2+(y/z)^2+1=0
∴x^2+y^2+z^2=0
ちなみにω=(-1+i√3)/2(1の虚数三乗根)として
(x,y,z)=(t,tω,tω^2)(tは0でない定数)とおけば問題の条件を満たし、
x^n+y^n+z^nは
nが3の倍数のとき 3t^n
そうでないとき 0
となります。
引用返信
/
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■52125
/ ResNo.2)
Re[2]: 複素数
▲
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□投稿者/ squall
一般人(2回)-(2023/03/06(Mon) 20:25:19)
らすかるさんは、人間コンピュータみたいですね。
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■52126
/ ResNo.3)
Re[2]: 複素数
▲
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□投稿者/ 複素数
一般人(4回)-(2023/03/06(Mon) 23:07:05)
有難うございました。
とても分かり易かったです。
解決済み!
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■No52124に返信(らすかるさんの記事) > x+y+z=0からx/z+y/z+1=0, x^7+y^7+z^7=0から(x/z)^7+(y/z)^7+1=0 > x/z=a, y/z=bとおけばa+b=-1,a^7+b^7=-1 > ab=kとおく。条件からk≠0。 > a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2k > a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2)-ab(a+b)=-(1-2k)+k=3k-1 > a^4+b^4=(a+b)(a^3+b^3)-ab(a^2+b^2)=-(3k-1)-k(1-2k)=2k^2-4k+1 > a^7+b^7=(a^3+b^3)(a^4+b^4)-(ab)^3(a+b)=(3k-1)(2k^2-4k+1)+k^3=7k^3-14k^2+7k-1 > 7k^3-14k^2+7k-1=-1 > 7k^3-14k^2+7k=0 > k^2-2k+1=0 > (k-1)^2=0 > k=1 > ∴a^2+b^2=1-2k=-1 > a^2+b^2+1=0 > (x/z)^2+(y/z)^2+1=0 > ∴x^2+y^2+z^2=0 > > ちなみにω=(-1+i√3)/2(1の虚数三乗根)として > (x,y,z)=(t,tω,tω^2)(tは0でない定数)とおけば問題の条件を満たし、 > x^n+y^n+z^nは > nが3の倍数のとき 3t^n > そうでないとき 0 > となります。 >
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