数学ナビゲーター掲示板 [One Thread Res View / 行列のノルム / Page: 0]

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■51983 / 親記事)

　行列のノルム

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□投稿者/ 学生一般人(1回)-(2022/10/17(Mon) 17:50:00)

sup(v≠0）|Av|/|v|=sup(|v|=1)|Av|
Aを複素数成分のk次正方行列とする
vは数ベクトル空間C^kを動く
これの証明をx=y⇄x<=yかつy<=xのような形の証明を教えてください

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■51985 / ResNo.1)

　Re[1]: 行列のノルム

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□投稿者/ nacky 一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 11:40:49)

まず実数からなる集合 $2$S,T$ が $2$S\subset T$ となっているとき $2$\sup S\leq\sup T$ が成り立つので
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\geq \sup_{|v|=1}\frac{|Av|}{|v|}=\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ.

また $2$e>0$ を任意にとると上限の定義よりある $2$w\ne 0$ について
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}$
が成り立つ. ここで $2$u=\frac w{|w|}$ とおくと $2$|u|=1$ であり
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}-e<\frac{|Aw|}{|w|}=|Au|\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が成り立つ. $2$e>0$ は任意だったので $2$e\to 0$ と極限をとると
$2$\sup_{v\ne 0}\frac{|Av|}{|v|}\leq\sup_{|v|=1}|Av|$
が得られる.

ちなみにですが実際は
$2$\left\{\frac{|Av|}{|v|}\middle|v\ne 0\right}=\{|Av|\ \mid\ |v|=1\}$
であることから求める等式は得られます.

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■51986 / ResNo.2)

　Re[2]: 行列のノルム

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□投稿者/ 学生一般人(2回)-(2022/10/18(Tue) 12:28:20)

解答ありがとうございます。
とても理解しやすかったです。

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