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■51895 / 親記事) 　連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
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□投稿者/ 福澤 一般人(1回)-(2022/06/24(Fri) 22:03:09)
    f(x)は実数から実数への連続関数で
    任意の有理数xに対してf(x)は有理数、
    任意の無理数xに対してf(x)は無理数、
    を満たすようなものとします。

    このようなf(x)のうち、
    少なくとも1つの代数的無理数αに対してf(α)が超越数となる
    ようなものの例を何か教えて下さい。
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■51896 / ResNo.1) 　Re[1]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
□投稿者/ マシュマロ 一般人(18回)-(2022/06/25(Sat) 02:28:45)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは＾＾

    これは面白い問題ですね。
    たとえばこんな関数はどうでしょうか。


    ｆ（√２）＝ｅとし、ｘ≦０およびｘ≧４ではｆ（ｘ）＝ｘとします。

    以下、残りの部分を定義していきます。まず、

    ①　ｍ／２＾ｋ（ｍ，ｋは非負整数）

    の形の数のうち√２を超えない最大のものをＰ（ｋ）とし、
    各Ｐ（ｋ）のうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＡ（ｎ）とおきます。

    また①の形の数のうち√２より大きい最小の数をＱ（ｋ）とし、
    そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＢ（ｎ）とおきます。

    ｅについても同様に、①の形の数のうちｅを超えない最大の数をＲ（ｋ）とし、
    そのうち重複するものを除いてｎ番目に小さい数をＣ（ｎ）とおきます。

    さらに、①の形の数のうちｅより大きい最小の数をＳ（ｋ）とし、
    そのうち重複するものを除いてｎ番目に大きい数をＤ（ｎ）とします。

    区間［０，Ａ（１）］においてはｆをｆ（０）＝０，ｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），となる１次関数とし、
    ［Ａ（１），Ａ（２）］においてはｆ（Ａ（１））＝Ｃ（１），ｆ（Ａ（２））＝Ｃ（２）となる１次関数とします。

    以下同様に、［Ａ（ｒ），Ａ（ｒ＋１）］においては
    ｆ（Ａ（ｒ））＝Ｃ（ｒ），ｆ（Ａ（ｒ＋１））＝Ｃ（ｒ＋１）となる１次関数として定義していきます。

    また区間［Ｂ（１），４］においてはｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１），ｆ（４）＝４となる１次関数とし、
    ［Ｂ（２），Ｂ（１）］においてはｆ（Ｂ（２））＝Ｄ（２），ｆ（Ｂ（１））＝Ｄ（１）となる１次関数とします。

    以下同様に、［Ｂ（ｒ＋１），Ｂ（ｒ）］においては
    ｆ（Ｂ（ｒ＋１））＝Ｄ（ｒ＋１），ｆ（Ｂ（ｒ））＝Ｄ（ｒ）となる１次関数として定義していきます。


    以上でｆが定義できました。
    区分けして定義した各区間においてｆは有理数係数の（定数ではない）１次式になっているので
    有理数に対しては有理数，無理数に対しては無理数の値をとります。
    しかもｆ（√２）の値ｅは超越数です。


    ということで、一応例が示されたのではないかと思います。
    以上の内容がご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
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■51898 / ResNo.2) 　Re[2]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
□投稿者/ 福澤 一般人(2回)-(2022/06/25(Sat) 18:35:02)
    興味深い構成方法で驚きました。
    ありがとうございました。
解決済み!
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