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■51864 / 親記事) 　積分の応用
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□投稿者/ さかな 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 23:43:27)
    以下の問題の解答を書いたのですが、なんか間違えている気がして…
    正誤確認・間違えていたら正しい解答を示していただけると幸いです。よろしくお願いします。
    (問題)
    xyz空間内で
    A(sint, sint, cost), B(sint, cost, sint), C(cost, sint, sint)をとる.
    tが0からπ/4まで増加するとき、三角形ABCの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ.
542×640 => 211×250

569CB113-ABD8-4A92-9782-9D776D1652A4.jpeg/50KB
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■51870 / ResNo.1) 　Re[1]: 積分の応用
□投稿者/ マシュマロ 一般人(7回)-(2022/06/10(Fri) 08:20:50)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは＾＾

    はい、基本的にその考え方でいいと思います。
    修正点としてはｔが動くにつれて三角形が移動する速さを
    考慮すると正確な計算になると思います。

    △ABCはその法線ベクトル（１，１，１）の方向に移動していきます。
    単位法線ベクトルｖは（１／√３，１／√３，１／√３）となります。

    ｔからｔ＋ｄｔに変化するとき。△ＡＢＣはｖ方向に
    （２sinｔ＋cosｔ）／√３・ｄｔだけ移動するので、積分計算としては

    Ｖ＝∫（cosｔ−sinｔ）＾２・（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
    （積分区間は（０，π／４。以下でも同様です）

    なので、計算すると

    Ｖ＝∫（１−sinｔ・cosｔ）（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
    　＝∫［２sinｔ＋cosｔ−２（sinｔ）＾２・cosｔ＋sinｔ・（cosｔ）＾２］／２・ｄｔ
    　＝［−cosｔ＋sinｔ／２−１／３・（sinｔ）＾３−（cosｔ）＾３／６］
    　＝７／６−（３√２）／８

    となるようです。

    例によって計算は合っているかどうかわかりませんが（汗
    参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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■51871 / ResNo.2) 　Re[2]: 積分の応用
□投稿者/ マシュマロ 一般人(8回)-(2022/06/10(Fri) 08:40:19)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    れによって間違っていました（笑）

    「なので、計算すると」以降の部分は次のようになります。

    以下、積分区間は［０，π／４］です。

    Ｖ＝∫（１−２sinｔ・cosｔ）（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
    　＝∫［２sinｔ＋cosｔ−４（sinｔ）＾２・cosｔ−２sinｔ・（cosｔ）＾２］／２・ｄｔ
    　＝［−cosｔ＋（sinｔ）／２−２（sinｔ）＾３／３−（cosｔ）＾３／３］
    　＝４／３−（√２）／２

    です。
    まだ合っているか怪しいですが（笑）
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■51872 / ResNo.3) 　Re[3]: 積分の応用
□投稿者/ マシュマロ 一般人(9回)-(2022/06/10(Fri) 08:41:51)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    訂正：れによって→例によって
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