 | 2025/07/21(Mon) 09:04:44 編集(投稿者)
べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
xの値に関わらず x^0 = 1 とします。
0!! = 1 とします。
kを非負整数、a[k]をx^kの係数として、y = Σ[k=0,∞]{a[k]*x^k}とします。
y'' = Σ[k=2,∞]{k(k-1)a[k]*x^(k-2)} = Σ[k=0,∞]{(k+2)(k+1)a[k+2]*x^k}
xy' = x*Σ[k=1,∞]{k*a[k]*x^(k-1)} = Σ[k=1,∞]{k*a[k]*x^k}
⇒ y''+xy'+y = (a[0]+2a[2])+Σ[k=1,∞]{((k+2)(k+1)a[k+2]+(k+1)a[k])x^k}
y''+xy'+y = 0 より、全ての係数が0でなければならないので、
a[0]+2a[2] = 0・・・・・(1)
k ≧ 1 で (k+2)(k+1)a[k+2]+(k+1)a[k] = 0 ⇒ (k+2)a[k+2]+a[k] = 0・・・・・(2)
(1)は(2)に k = 0 としたものに他なりませんので、kが非負整数で(2)となります。
kが偶数のとき、a[k] = a[0]/{k(k-2)(k-4)・・・2} = a[0]/(k!!)
kが奇数のとき、a[k] = a[1]/{k(k-2)(k-4)・・・1} = a[1]/(k!!)
以上から、
y = Σ[j=0,∞]{(a[0]/((2j)!!))x^(2j)+(a[1]/((2j+1)!!))x^(2j+1)}
となります。
級数解ということであれば上記までで良いのかもしれませんが、前半をもう少し変形を試みると
Σ[j=0,∞]{(a[0]/((2j)!!))x^(2j)}
= a[0]Σ[j=0,∞]{(x^(2j))/((2^j)(j!))}
= a[0]Σ[j=0,∞]{((x^2/2)^j)/(j!)}
= a[0]e^(x^2/2)
後半は自力では変形できなかったので、wolfram alphaのお世話になったら
初等関数では表せず、誤差関数erf()を用いて、
Σ[j=0,∞]{(a[1]/((2j+1)!!))x^(2j+1)} = a[1](e^(x^2/2))(√(π/2))erf(x/√2)
となるそうです。
ちなみに erf(x) = (2/√π)∫[0,x]{e^(-t^2)}dt ということです。
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