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■51786
/ 親記事)
三角関数解いて下さいm(_ _)m改め
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□投稿者/ K
一般人(2回)-(2021/12/21(Tue) 11:18:44)
acos(tanA/tanB)=asin(cosA/sinC)
これをAについて解きたいです。
もう三角関数忘れてしまったので、誰か解法教えてもらえると嬉しいです。
よろしくお願いします。
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■51790
/ ResNo.1)
Re[1]: 三角関数解いて下さいm(_ _)m改め
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□投稿者/ らすかる
一般人(3回)-(2021/12/22(Wed) 17:46:31)
acosはarccos、asinはarcsinの意味と解釈します。
0≦arccosx≦π, -π/2≦arcsinx≦π/2なので
等号が成り立つためには
0≦arccos(tanA/tanB)≦π/2, 0≦arcsin(cosA/sinC)≦π/2
このとき0≦tanA/tanB≦1, 0≦cosA/sinC≦1
x≧0のとき arcsinx=arccos(√(1-x^2))なので
arcsin(cosA/sinC)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
よってarccos(tanA/tanB)=arcsin(cosA/sinC)から
arccos(tanA/tanB)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
∴tanA/tanB=√(1-(cosA/sinC)^2)
(tanA/tanB)^2=1-(cosA/sinC)^2
(sinC)^2(tanA)^2=(tanB)^2{(sinC)^2-(cosA)^2}
(sinC)^2(sinA)^2/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
(sinC)^2{1-(cosA)^2}/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
cosAについて整理して
(sinB)^2(cosA)^4-(sinC)^2(cosA)^2+(cosB)^2(sinC)^2=0
(cosA)^2に関する二次方程式と考えて解くと
(cosA)^2={(sinC)^2±√{(sinC)^4-4(sinB)^2(cosB)^2(sinC)^2}}/{2(sinB)^2}
={sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}
従って
A=±arccos(±√{{sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}}) (複号任意)
これは不適解を含むので、B,Cの変化とグラフから適解に絞り整理すると
A=(tanB)(sinC)arccos((sinC)√{{2sinC±√(2cos4B-2cos2C)}/{2(1-cos2B)sinC}})/|(tanB)(sinC)|
(ただしcos4B-cos2C<0のとき解なし)
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■No51790に返信(らすかるさんの記事) > acosはarccos、asinはarcsinの意味と解釈します。 > > 0≦arccosx≦π, -π/2≦arcsinx≦π/2なので > 等号が成り立つためには > 0≦arccos(tanA/tanB)≦π/2, 0≦arcsin(cosA/sinC)≦π/2 > このとき0≦tanA/tanB≦1, 0≦cosA/sinC≦1 > x≧0のとき arcsinx=arccos(√(1-x^2))なので > arcsin(cosA/sinC)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2)) > よってarccos(tanA/tanB)=arcsin(cosA/sinC)から > arccos(tanA/tanB)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2)) > ∴tanA/tanB=√(1-(cosA/sinC)^2) > (tanA/tanB)^2=1-(cosA/sinC)^2 > (sinC)^2(tanA)^2=(tanB)^2{(sinC)^2-(cosA)^2} > (sinC)^2(sinA)^2/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2} > (sinC)^2{1-(cosA)^2}/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2} > cosAについて整理して > (sinB)^2(cosA)^4-(sinC)^2(cosA)^2+(cosB)^2(sinC)^2=0 > (cosA)^2に関する二次方程式と考えて解くと > (cosA)^2={(sinC)^2±√{(sinC)^4-4(sinB)^2(cosB)^2(sinC)^2}}/{2(sinB)^2} > ={sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2} > 従って > A=±arccos(±√{{sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}}) (複号任意) > これは不適解を含むので、B,Cの変化とグラフから適解に絞り整理すると > A=(tanB)(sinC)arccos((sinC)√{{2sinC±√(2cos4B-2cos2C)}/{2(1-cos2B)sinC}})/|(tanB)(sinC)| > (ただしcos4B-cos2C<0のとき解なし) >
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