 | acosはarccos、asinはarcsinの意味と解釈します。
0≦arccosx≦π, -π/2≦arcsinx≦π/2なので
等号が成り立つためには
0≦arccos(tanA/tanB)≦π/2, 0≦arcsin(cosA/sinC)≦π/2
このとき0≦tanA/tanB≦1, 0≦cosA/sinC≦1
x≧0のとき arcsinx=arccos(√(1-x^2))なので
arcsin(cosA/sinC)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
よってarccos(tanA/tanB)=arcsin(cosA/sinC)から
arccos(tanA/tanB)=arccos(√(1-(cosA/sinC)^2))
∴tanA/tanB=√(1-(cosA/sinC)^2)
(tanA/tanB)^2=1-(cosA/sinC)^2
(sinC)^2(tanA)^2=(tanB)^2{(sinC)^2-(cosA)^2}
(sinC)^2(sinA)^2/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
(sinC)^2{1-(cosA)^2}/(cosA)^2={(sinB)^2/(cosB)^2}{(sinC)^2-(cosA)^2}
cosAについて整理して
(sinB)^2(cosA)^4-(sinC)^2(cosA)^2+(cosB)^2(sinC)^2=0
(cosA)^2に関する二次方程式と考えて解くと
(cosA)^2={(sinC)^2±√{(sinC)^4-4(sinB)^2(cosB)^2(sinC)^2}}/{2(sinB)^2}
={sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}
従って
A=±arccos(±√{{sinC±√{(sinC)^2-(sin2B)^2}}sinC/{2(sinB)^2}}) （複号任意）
これは不適解を含むので、B,Cの変化とグラフから適解に絞り整理すると
A=(tanB)(sinC)arccos((sinC)√{{2sinC±√(2cos4B-2cos2C)}/{2(1-cos2B)sinC}})/|(tanB)(sinC)|
（ただしcos4B-cos2C＜0のとき解なし）
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