数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■50641 / 親記事)  cos(1)とtan(1/2)
  
□投稿者/ 紙 一般人(1回)-(2021/03/05(Fri) 12:15:47)
    cos(1)とtan(1/2)の大小比較はどうやればよいのでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50649 / ResNo.1)  Re[1]: cos(1)とtan(1/2)
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2021/03/05(Fri) 18:47:25)
    y=cosx,y=tan(x/2)のグラフと
    y=cosxに(π/3,cos(π/3))で接する接線、
    y=tan(x/2)に(π/3,tan(π/6))で接する接線を考えると
    2接線は(√3)(x-π/3)+2y=1と2(x-π/3)-3y+√3=0で
    その交点のx座標はx=π/3-(30-17√3)/11
    π/3-(30-17√3)/11<(1/3)(22/7)-(30-17√3)/11
    =(357√3-388)/231
    (357√3)^2=382347<383161=619^2から
    357√3<619
    357√3-388<231
    (357√3-388)/231<1
    よって2接線の交点のx座標は1より小さい。
    y=cosxは0<x<π/2で単調減少かつ上に凸なので
    (π/3,cos(π/3))で接する接線はy=cosxより右にある。
    y=tan(x/2)は0<x<π/2で単調増加かつ下に凸なので
    (π/3,tan(π/6))で接する接線はy=tan(x/2)より右にある。
    従って2接線の交点はy=cosxとy=tan(x/2)の交点より右にあるので、
    y=cosxとy=tan(x/2)の交点のx座標は2接線の交点のx座標より小さく、
    すなわち1より小さい。
    ゆえにy=cosxとy=tan(x/2)は0<x<1の範囲内で交わり、
    0<x<π/2でy=cosxは単調減少、y=tan(x/2)は単調増加なので
    x=1においてはtan(x/2)>cosx。
    よってtan(1/2)>cos(1)。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50650 / ResNo.2)  Re[2]: cos(1)とtan(1/2)
□投稿者/ 紙 一般人(2回)-(2021/03/05(Fri) 20:23:03)
    ありがとうございます。
    思わずグラフをいくつも描いて交点と接線の交点の関係を確認しましたが納得いたしました。
    素晴らしいです。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター