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■50470 / 親記事)  cosの不等式
  
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(1回)-(2020/08/23(Sun) 12:00:02)
    xが実数のとき
    |cos(x)|+|cos(2x)|+|cos(4x)|>1

    ってどうやって証明するのでしょうか?
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■50471 / ResNo.1)  Re[1]: cosの不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)
    f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
    f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
    f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
    0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
    また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
    f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
    π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
    この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
    π/4≦x<3π/8でh(x)<0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
    f(x)+g(x)+h(x)は
    π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
    cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
    π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2

    π/4≦x<3π/8の場合
    cosxはπ/4≦x<3π/8で減少関数であり
    cos(π/4)=√2/2<3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2>3/8なので3/8<t<3/4
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    =(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512>1

    3π/8≦x≦π/2の場合
    cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
    cos(3π/8)=√(2-√2)/2<2/5, cos(π/2)=0なので0≦t<2/5
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
    =8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625>1

    従ってf(x)+g(x)+h(x)>1は常に成り立つ。

    # もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
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■50472 / ResNo.2)  Re[2]: cosの不等式
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(2回)-(2020/08/23(Sun) 15:28:04)
    凄過ぎる解答をこんなにも早くありがとうございます。

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