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■50417 / 親記事)  弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
  
□投稿者/ ゆゆ 一般人(1回)-(2020/07/22(Wed) 00:54:03)

    弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
    答えと回答法を知りたいです。
    よろしくお願いします。

    問題
    座標平面において,原点を中心とする半径 3 の円を C,点 (0, -1) を中心とする半径 8 の円をD とする.C と D にはさまれた領域を E とする.0 <= k <= 3 とする.直線 l と原点との距離が一定値 k であるように l が動くとき,l と E の共通部分の長さの最小値を求めよ.
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50425 / ResNo.1)  Re[1]: 弘前大学 2010年度 理系 過去問です。
□投稿者/ X 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 19:24:55)
    2020/08/05(Wed) 19:28:27 編集(投稿者)

    lとCとの交点をP,Q、lとDとの交点をT,Uとし
    点(0,-1)を点Aとします。

    今、原点からlに下した垂線の足をHとすると
    条件から
    OH=k
    ∴△OHPにおいて三平方の定理により
    PH=√(OP^2-OH^2)=√(9-k^2) (A)
    △OPH≡△OQHに注意すると
    PQ=2PH=2√(9-k^2) (B)

    さて、条件から
    H(kcosθ,ksinθ)
    (0≦θ<2π (P))
    と置くことができるのでlの方程式は
    (x-kcosθ)cosθ+(y-ksinθ)sinθ=0
    整理をして
    xcosθ+ysinθ-k=0
    ∴点Aからlに下した垂線の足をIとすると
    点と直線との間の距離の公式により
    AI=|-sinθ-k|/√{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
    =|sinθ+k|
    ∴(B)を求めるのと同様な過程により
    TU=2√{64-|sinθ+k|^2}
    =2√{64-(sinθ+k)^2} (C)
    (B)(C)より、lとEの共通部分の長さをLとすると
    L=TU-PQ=2√{64-(sinθ+k)^2}-2√(9-k^2)
    ∴(P)よりLはθ=π/2のときに最小値である
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
    を取ります。
    以上から求める最小値は
    2√{64-(1+k)^2}-2√(9-k^2)
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