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■50312 / 親記事)  不等式
  
□投稿者/ グルンカ 一般人(1回)-(2020/04/17(Fri) 22:58:40)
    nが2以上の自然数のとき、
    Σ[k=1,n-1]1/sin(kπ/n)<n*log(n)
    であることの証明を教えて下さい。
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■50313 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2020/04/18(Sat) 01:52:47)
    0<x<π/2でsinx>(2/π)xが成り立つ。
    nが奇数のとき
    Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
    =2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/sin(kπ/n)
    <2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/{(2/π)(kπ/n)}
    =nΣ[k=1〜(n-1)/2]1/k
    <n(∫[1/2〜(n-1)/2+1/2]dx/x)
    =n{log(n/2)-log(1/2)}
    =nlogn
    nが偶数のとき
    Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
    =1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/sin(kπ/n)
    <1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/{(2/π)(kπ/n)}
    =1+nΣ[k=1〜n/2-1]1/k
    <1+n(∫[1/2〜n/2-1+1/2]dx/x)
    =1+n{log((n-1)/2)-log(1/2)}
    =1+nlog(n-1)
    <nlogn (※)

    (※)
    1+nlog(n-1)<nlognは、
    f(x)=xlogx-(1+xlog(x-1))とおくと
    f'(x)<0, lim[x→∞]f(x)=0となることから言えます。

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■50314 / ResNo.2)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ グルンカ 一般人(2回)-(2020/04/18(Sat) 10:03:39)
    ありがとうございます。
    全然分からなかったのでとても助かりました。
    一行目の不等式がポイントですね。
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