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■50236 / 親記事)  動点の確率
  
□投稿者/ まのたろ 一般人(1回)-(2020/03/04(Wed) 20:17:20)
    長さ1の線分AB上を点Xが移動する。
    最初点Xは線分ABの中点にあり、
    1秒ごとに確率1/2で線分AXの中点か線分BXの中点に移動する。
    n秒後にはじめて線分AXの長さが1/4未満になる確率を求めよ。

    教えて下さい。
    お願いします。
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■50237 / ResNo.1)  Re[1]: 動点の確率
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2020/03/04(Wed) 22:09:37)
    条件を満たすのは「n-1回目とn回目に初めて2回連続AX側が選択される確率」と同じです。
    k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がAX側であるパターンの数をa[k]、
    k秒後までに2連続AX側がなく最後の選択がBX側であるパターンの数をb[k]とおくと
    a[1]=b[1]=1, a[m+1]=b[m], b[m+1]=a[m]+b[m]
    このa[k]はフィボナッチ数なので、一般項は
    a[k]={(1+√5)^k-(1-√5)^k}/(√5・2^k)
    よって求める確率は
    a[n-1]/2^n={(1+√5)^(n-1)-(1-√5)^(n-1)}/(√5・2^(2n-1))
    となります。
    (上の式はn≧2で定義される式ですが、n=1で正しく0となりますのでn≧1で正しい式です。)
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■50238 / ResNo.2)  Re[2]: 動点の確率
□投稿者/ まのたろ 一般人(2回)-(2020/03/05(Thu) 06:38:28)
    ありがとうございます。
    とても分かりやすいです。
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