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■50190
/ 親記事)
京大特色
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□投稿者/ 紙
一般人(1回)-(2019/12/02(Mon) 23:28:22)
整数k,nは0≦k<nを満たすとする。以下の設問に答えよ。
(1) f(x)=x^n, g(x)=x^kとする。1≦x<yに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
|(g(x)-g(y))/(f(x)-f(y))|<1/x
(2) f(x), g(x)を実数係数の整式で、f(x)の次数をn、g(x)の次数をkとする。
f(x_0)が整数となるすべての実数x_0に対してg(x_0)も整数となるとき、
g(x)はxによらず一定の整数値をとることを示せ。
この問題なのですが、ネット上のいろんな議論を見てもいまいち(1)がうまく使えていないようです。
(1)は(2)を解くための誘導と見てほぼ間違いないと思うのですが、どうでしょうか?
(1)を(2)でスッキリと使う方法があれば知りたいです。
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■50194
/ ResNo.1)
Re[1]: 京大特色
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□投稿者/ piyo
一般人(1回)-(2019/12/06(Fri) 12:07:32)
ttps://math.nakaken88.com/problem/kyoto-u-t-2020-3/2/
ここの解説はよくまとまっていると思います。
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■No50190に返信(紙さんの記事) > 整数k,nは0≦k<nを満たすとする。以下の設問に答えよ。 > (1) f(x)=x^n, g(x)=x^kとする。1≦x<yに対して次の不等式が成り立つことを示せ。 > |(g(x)-g(y))/(f(x)-f(y))|<1/x > (2) f(x), g(x)を実数係数の整式で、f(x)の次数をn、g(x)の次数をkとする。 > f(x_0)が整数となるすべての実数x_0に対してg(x_0)も整数となるとき、 > g(x)はxによらず一定の整数値をとることを示せ。 > > この問題なのですが、ネット上のいろんな議論を見てもいまいち(1)がうまく使えていないようです。 > (1)は(2)を解くための誘導と見てほぼ間違いないと思うのですが、どうでしょうか? > (1)を(2)でスッキリと使う方法があれば知りたいです。
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