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■50180
/ 親記事)
群の問題
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□投稿者/ もけ
一般人(1回)-(2019/11/20(Wed) 21:00:49)
(G,・)を半群とする
Gの任意の元g,hに対して、あるGの元i,jが存在し、
g・i=h
j・g=h
が成立する。
(G,・)が群であることを示せ。
この問題がわかりません…どなたか教えてください
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■50181
/ ResNo.1)
Re[1]: 群の問題
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■
□投稿者/ ast
一般人(1回)-(2019/11/20(Wed) 21:41:00)
2019/11/20(Wed) 21:45:32 編集(投稿者)
[0]
は半群だから結合法則はOK
[i]
は任意だから特に
のときを考えると, そのときの
に対して
を考えれば
となり, 任意の
に対して
が成り立つことになるので, 定義によりこの
は
の単位元. (以降この単位元を
と書くことにする)
[ii] 上と同様に
のときを考えると, そのときの
に対して
を考えれば
となり,
に対して
が成り立つことになるので, 定義によりこの
は
の逆元.
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/
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■50182
/ ResNo.2)
Re[2]: 群の問題
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□投稿者/ もけ
一般人(2回)-(2019/11/20(Wed) 22:46:44)
返信ありがとうございます。二つ質問させていただきたいのですが、
@単位元の証明で、ijを考えるとi=jがどういうステップを踏んでいるのかがわかりません。
A単位元の証明で、これで証明したことは、あくまで「任意のg∈Gに対して、あるi∈Gが存在し、gi=ig=g」であり、単位元の定義である「あるi∈Gが存在し、任意のg∈Gに対して、gi=ig=g」ではない気がします。あると任意のの順番が変わるのはアウトだった気がします。
大変恐縮ですが、ご返事頂けると嬉しいです。
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/
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■50183
/ ResNo.3)
Re[3]: 群の問題
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□投稿者/ ast
一般人(2回)-(2019/11/20(Wed) 23:03:03)
そうですね, おっしゃる通りだいぶ勘違いしたようです. すみません.
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■50184
/ ResNo.4)
Re[4]: 群の問題
▲
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□投稿者/ m
一般人(1回)-(2019/11/21(Thu) 01:24:01)
単位元の存在のみ示します。
を一つ固定する。
仮定より
が成り立つ。
この
に対し、
が成り立つ。
(∵
をとる。仮定より
で、
)
同様にして
となる
が存在する。
このとき
より
が単位元。
どうでしょう。
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/
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■50185
/ ResNo.5)
Re[5]: 群の問題
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□投稿者/ もけ
一般人(3回)-(2019/11/21(Thu) 16:47:57)
これなら良さそうですね、ありがとうございます!
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■No50181に返信(astさんの記事) > 2019/11/20(Wed) 21:45:32 編集(投稿者) > > [0] $G$は半群だから結合法則はOK > [i] $h$は任意だから特に$h=g$のときを考えると, そのときの$i,j$に対して$ij$を考えれば$i=j$となり, 任意の$g$に対して$gi=ig=g$が成り立つことになるので, 定義によりこの$i$は$G$の単位元. (以降この単位元を$e$と書くことにする) > [ii] 上と同様に$h=e$のときを考えると, そのときの$i,j$に対して$jgi$を考えれば$i=j$となり, $g$に対して$gi=ig=e$が成り立つことになるので, 定義によりこの$i$は$g$の逆元.
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