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■48800 / 親記事)  三次方程式の解
  
□投稿者/ 千利休 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 19:25:31)
    aは自然数で、2^(1/3)+a^(1/3)がある整数係数の三次方程式の解となる。
    このとき、ある非負整数kを用いてa=2^kとかける。

    これって正しいですか?
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■48801 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式の解
□投稿者/ Math 一般人(1回)-(2018/09/11(Tue) 20:44:31)
    正しくないです。

    x=2^(1/3)+108^(1/3) は x^3-18x-110=0 の解です。
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■48802 / ResNo.2)  Re[2]: 三次方程式の解
□投稿者/ 千利休 一般人(2回)-(2018/09/11(Tue) 20:57:00)
    なるほど・・・

    では、自然数n、非負整数kを用いて
    a=n^3*2^k
    とかける、というのは正しいですか?
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■48807 / ResNo.3)  Re[3]: 三次方程式の解
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2018/09/12(Wed) 10:05:27)
    正しいです。

    tはn^3・2^kと表せない自然数とします。
    このとき、2^(1/3)+t^(1/3)は整数係数9次方程式
    x^9-3(t+2)x^6+3(t^2-14t+4)x^3-(t+2)^3=0の解です。
    この式の左辺はω=(-1+i√3)/2として
    (a)=x-2^(1/3)-t^(1/3)
    (b)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω^2
    (c)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω
    (d)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω
    (e)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)
    (f)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)ω^2
    (g)=x-2^(1/3)-t^(1/3)ω^2
    (h)=x-2^(1/3)ω-t^(1/3)ω
    (i)=x-2^(1/3)ω^2-t^(1/3)
    の9個の式の積になっています。
    2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解ならば、
    上の9個の式で(b)〜(i)のうち二つと(a)を掛け合わせて
    整数係数の多項式にならなければなりません。
    組み合わせ28通りについて全部調べてみると、
    28通りのうち積の定数項が実数になるものは
    (a)(b)(c), (a)(d)(g), (a)(e)(i), (a)(f)(h)の4組
    (このとき全係数が実数になります)となります。しかし
    (a)(b)(c)は一次の係数が-3(2t)^(1/3)
    (a)(d)(g)は二次の係数が-3・2^(1/3)
    (a)(e)(i)は二次の係数が-3・t^(1/3)
    (a)(f)(h)は定数項が-{2^(1/3)+t^(1/3)}^3
    なので、いずれも整数係数になりません。
    よって2^(1/3)+t^(1/3)が整数係数三次方程式の解になることはありません。
    従って、2^(1/3)+a^(1/3)が整数係数三次方程式の解になるならば、
    aはn^3・2^kと表せることになります。

    # a=n^3のとき(a)(e)(i)の形の三次方程式、
    # a=2n^3のとき(a)(f)(h)の形の三次方程式、
    # a=4n^3のとき(a)(b)(c)の形の三次方程式になります。

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■48810 / ResNo.4)  Re[4]: 三次方程式の解
□投稿者/ 千利休 一般人(3回)-(2018/09/14(Fri) 07:41:09)
    有り難うございました。
    思っていたより大変だということがよく分かりました。
解決済み!
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