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■48496 / 親記事)  広義積分の質問
  
□投稿者/ こいち 一般人(1回)-(2018/07/28(Sat) 12:04:12)
    ∫(積分区間0→∞){e^(-ax)}sin(bx)dx
    の解き方を教えてください。
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■48500 / ResNo.1)  Re[1]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(22回)-(2018/07/28(Sat) 14:40:35)
    a≠0かつb≠0のとき
    ∫e^(-ax)・sin(bx)dx
    =e^(-ax)/(-a)・sin(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・bcos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a)∫e^(-ax)・cos(bx)dx
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){e^(-ax)/(-a)・cos(bx)-∫e^(-ax)/(-a)・(-b)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a+(b/a){-{e^(-ax)・cos(bx)}/a-(b/a)∫e^(-ax)sin(bx)dx}
    =-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2-(b^2/a^2)∫e^(-ax)sin(bx)dx
    なので
    (1+b^2/a^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-{e^(-ax)・sin(bx)}/a-b{e^(-ax)・cos(bx)}/a^2+C1
    (a^2+b^2)∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}+C1
    ∴∫e^(-ax)・sin(bx)dx=-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)+C2
    従って
    b=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]0dx=0
    b≠0,a=0のとき
    (与式)=∫[0〜∞]sin(bx)dx=[-cos(bx)/b][0〜∞]は発散
    b≠0,a<0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]は発散
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)

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■48501 / ResNo.2)  Re[2]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(3回)-(2018/07/28(Sat) 15:11:29)
    b≠0,a>0のとき
    (与式)=[-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)][0〜∞]=b/(a^2+b^2)
    の部分がどうしてこうなるのか詳しく教えていただきたいです。すみません。
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■48503 / ResNo.3)  Re[3]: 広義積分の質問
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2018/07/28(Sat) 15:43:24)
    a>0,x→∞のとき e^(-ax)→0,|asin(bx)|≦a,|bcos(bx)|≦|b|なので
    lim[x→∞]-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=0
    x=0のとき
    e^(-ax)=1, asin(bx)=0, bcos(bx)=bなので
    x=0のとき-e^(-ax)・{asin(bx)+bcos(bx)}/(a^2+b^2)=-b/(a^2+b^2)
    よって(与式)=0-(-b/(a^2+b^2))=b/(a^2+b^2)

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■48506 / ResNo.4)  Re[4]: 広義積分の質問
□投稿者/ こいち 一般人(9回)-(2018/07/28(Sat) 16:13:17)
    解くことができました。ありがとうございました!
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