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■47910 / 親記事)  (1/4)(3:4:5)
  
□投稿者/ めるかり 一般人(1回)-(2017/03/10(Fri) 14:40:24)
    座標平面上に原点O(0,0)、点A(4,0)、点B(0,3)がある。
    直交する直線2本によって△OABの面積を4等分するとき、
    これらの直線の方程式を求めよ。

    教えて下さい。
    お願いいたします。
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■47912 / ResNo.1)  Re[1]: (1/4)(3:4:5)
□投稿者/ らすかる 一般人(14回)-(2017/03/11(Sat) 12:15:14)
    自作問題ですか?

    線分AB,線分OAと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
    3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s (1≦s≦2)… (1)
    線分OA,線分OBと交わり△OABを二等分する直線の方程式は
    3x+2t^2y=6t (1≦t≦2)… (2)
    この2直線が直交するので
    3・3s^2+2t^2(4s^2-8)=0
    ∴t^2=9s^2/(16-8s^2) (→ 1≦s≦8/√41, 3√2/4≦t≦2)
    これを(2)に代入して整理すると
    (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2) … (3)

    (1)と(3)の交点のy座標は
    {18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}
    (1)の傾きは
    3s^2/(8-4s^2)
    なので、2直線とx軸で囲まれる直角三角形の面積は
    {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
    {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}/2
    これが3/2でなければならないので
    {{18s^3√(4-2s^2)+48s(s-1)(s^2-2)}/{(5s^2+12s+8)(5s^2-12s+8)}}^2・
    {3s^2/(8-4s^2)+(8-4s^2)/(3s^2)}=3
    これを整理すると
    9649s^8-27392s^7-6400s^6+87552s^5-67456s^4-49152s^3+81920s^2-32768s+4096=0
    (2乗したので不適解を含む)
    数値的に解くと適解は
    s=1.190315408356102635648805458007…
    よって求める2直線はsをこの値として
    3s^2x+(4s^2-8)y=12s^2-12s

    (24-12s^2)x+9s^2y=18s√(4-2s^2)

    ちなみに
    2直線の交点は
    P(1.256834056326256745226150776051…,1.124846960943165497230454772467…)
    2直線とOAとの交点は
    C(0.639546147248281670517592509358…,0)
    D(3.306575622515343617176951966100…,0)
    直線とABとの交点は
    E(1.619369183287794728702389083984…,1.785473112534153953473208187011…)
    直線とOBとの交点は
    F(0,1.814566090412214061669002877310…)
    直線CEの傾きは
    1.822240391235455361214466451085…
    直線DFの傾きは
    -0.548775016078977902736900547199…
    で、検算したところ4つの領域の面積がすべて正しく1.5になっていました。

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■47920 / ResNo.2)  Re[2]: (1/4)(3:4:5)
□投稿者/ めるかり 一般人(2回)-(2017/03/12(Sun) 10:45:15)
    数学パズルの本に、抽象的に解くと簡単(直交する直線の"存在")だけど、具体的には難しい問題として紹介されていたものです。


    こんなとんでもないことになるんですね。
    途中の8次方程式を解くなんて私には無理でした…。
    教えていただき有難うございます。
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