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■47723 / 親記事)  126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
  
□投稿者/ Apple 一般人(1回)-(2016/07/27(Wed) 12:24:51)
    126k-11l=1 の整数の一般解を求める問題(センター試験)

    まず,ユークリッドの互除法を用いて1組の解 (-2, -23)を見つけます。
    その後,2通り方法があり,

    (1) ある参考書に載っている公式のような k=bn+p, l=-an+q を適用すると,

    一般解が以下のようになります。
    k=-11n-2
    l=-126n-23

    (2) 別の参考書では元の方程式からユークリッドの互除法で求めた式を引くことで
    126(k+2)=11(l+23)を導き,

    そこから,一般解が以下のようになります。

    k=11n-2
    l=126n-23


    質問:
    上記の一般解はnの係数が片方は正,片方は負となっていますが,どちらも正しいように思えます。なぜこのようなことが起こるのでしょうか?

    また,(1)の手法の場合,-11l+126k=1と左辺の項の順番を入れ替えると(2)と同じ一般解となります。この順番は任意に変えてよいのでしょうか?

    よろしくお願い致します。
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■47724 / ResNo.1)  Re[1]: 126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
□投稿者/ らすかる 一般人(26回)-(2016/07/27(Wed) 16:12:08)
    一般解は無数にありますので
    解き方により見かけの異なる解が出ます。
    最初の解のnに-nを代入すれば二番目の解になりますし、
    nにn+1やn-1を代入した形もまた別の解になります。

    項の順番を入れ替えても同値ですから
    順番の入れ替えは問題ありません。

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■47725 / ResNo.2)  Re[2]: 126k-11l=1 一般解が解法によって異なる?
□投稿者/ Apple 一般人(2回)-(2016/07/29(Fri) 16:59:35)
    > 最初の解のnに-nを代入すれば二番目の解になります
    確かに-nを入れれば同じになりますね。
    すっきりしました。

    > 項の順番を入れ替えても同値ですから
    > 順番の入れ替えは問題ありません。
    順番の入れ替えも問題ないということで安心しました。

    誠にありがとうございました。
解決済み!
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