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■47646 / 親記事)  数学的帰納法
  
□投稿者/ N 一般人(3回)-(2016/04/25(Mon) 19:10:13)
    正の数a,b,x,yを考える。a+b=1ならば、すべての自然数nにたいして不等式
    (ax+by)^n≦ax^n+by^nが成り立つことを証明せよ

    先日やり方を教えていただいたんですが後日学校で教わったやりかたでやってみて少しわからないところがあったんで教えてください

    「(ax+by)^n≦ax^n+by^n……@ が成り立つことを証明す
     n=1のとき、@の
     右辺=ax+by、左辺=ax+by
     で@(の等号)が成り立つ。

     n=kのとき@が成り立つと仮定すると、
     (ax+by)^k≦ax^k+by^k
     両辺にax+by=(1-b)x+(1-a)yをかけると、
      左辺=(ax+by)^(k+1)
     右辺=(ax^k+by^k){(1-b)x+(1-a)y}
      =ax^(k+1)-abx^(k+1)+by^(k+1)-aby^(k+1)
      =ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
      <ax^(k+1)+by^(k+1)
     で、n=k+1のときも@が成り立つ。
      数学的帰納法により@がすべての自然数nで成り立つ。」

    この証明の下から4行目と3行目の
      =ax^(k+1)+by^(k+1)-ab(x^(k+1)+y^(k+1))
      <ax^(k+1)+by^(k+1)この部分の<は≦と表せないですよねだとすると
      等号が成り立つように証明しなければならないと思うんですがどのようにやれ ばいいでしょう?
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■47648 / ResNo.1)  Re[1]: 数学的帰納法
□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2016/04/25(Mon) 21:19:22)
    2016/04/25(Mon) 21:34:08 編集(投稿者)

    n=1の時に等号が成り立っています。

    また、もし等号が成り立つ場合がなかったとしても
    ○<□が示せれば
    ○≦□も当然成り立ちますので、
    特に等号が成り立つ場合を考える必要はありません。
    つまり、等号が成り立つ場合が存在しなくても
    論理的に正しく、問題ありませんので
    「等号が成り立つように証明しなければならない」
    ということはなく、○<□が示せれば十分です。

    ただし、等号が付いていれば
    等号が成り立つ場合があるのが普通ですので、
    等号が成り立つ場合が見当たらなければ
    証明を見直した方が良いかも知れませんね。
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■47649 / ResNo.2)  Re[2]: 数学的帰納法
□投稿者/ N 一般人(4回)-(2016/04/25(Mon) 22:11:12)
    回答ありがとうございました
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