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■47607 / 親記事)  有理点
  
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2016/03/23(Wed) 14:26:34)
    次の問題について、ご教授下さい。
    「座標平面において、円x~2+y~2=3 上には有理点が存在しない。」
    を示せ。」
    単位円であれば、有理点は無数に存在することは、よく知られていますが、・・・・。
    よろしくお願いします。
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■47608 / ResNo.1)  Re[1]: 有理点
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2016/03/23(Wed) 18:06:02)
    もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)(p,q,r,sは自然数)が存在したとすると
    (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
    となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
    「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
    二個の平方数の和では表せず、従って
    (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
    x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。

    二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
    例えば↓ここらへんをご覧下さい。
    https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C

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■47609 / ResNo.2)  Re[2]: 有理点
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2016/03/23(Wed) 21:58:35)
    らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
    「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
    ありがとうございました。
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■47615 / ResNo.3)  Re[2]: 有理点
□投稿者/ コピー 一般人(3回)-(2016/04/02(Sat) 21:46:01)
    No47608に返信(らすかるさんの記事)
    > もし有理点(x,y)=(p/q,r/s)(p,q,r,sは自然数)が存在したとすると
    > (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2
    > となりますが、3(qs)^2は二個の平方数の和で表されるための必要十分条件
    > 「4k+3型の素因数の指数が全て偶数」を満たしませんので
    > 二個の平方数の和では表せず、従って
    > (ps)^2+(rq)^2=3(qs)^2 を満たす自然数は存在しませんので
    > x^2+y^2=3を満たす有理点も存在しません。
    >
    > 二個の平方数の和で表されるための必要十分条件についての証明が必要でしたら
    > 例えば↓ここらへんをご覧下さい。
    > https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E5%80%8B%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%92%8C
    > コピー http://www.poo111.com/
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■47617 / ResNo.4)  Re[3]: 有理点
□投稿者/ GFF 一般人(1回)-(2016/04/04(Mon) 13:06:24)
http://www.kopitokeitop.com/
    らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
    「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
    ありがとうございました。
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■47820 / ResNo.5)  Re[3]: 有理点
□投稿者/ らすかる 一般人(11回)-(2016/11/17(Thu) 02:42:44)
http://www.kyoto-burand.com/
    No47609に返信(掛け流しさんの記事)
    > らすかるさん、早速のお返事ありがとうございます。
    > 「フェルマーの二平方定理」を使う問題だったのですね。
    > ありがとうございました。

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