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■47521 / 親記事)  不等式と積分
  
□投稿者/ tihiro 一般人(1回)-(2015/10/15(Thu) 17:37:29)
    「数列{a_n},{b_n}を
      a_n=(-1)^n ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx (n=1,2,3,・・・)
    b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,2,3・・・)
    と定めるとき次の問いに答えよ。ただし、対数は自然対数である。」という問題です。

    (1)a_1=log2-1を示せ。(これはできました。)
    (2)b_n=(-1)^{n+1}/(n+1)を示せ。(これはできました。)
    (3)a_n=log2-Σ[k:1〜n](-1)^{k+1}/k (n=2,3,・・・)
    を示せ。(これはできました)
    (4)x≧0のとき1/(1+x)≦1であることを用いて、
        |a_n|≦1/(n+1)を示せ。

    この(4)の解答で、
       1/(1+x)≦1であるので、両辺にx^n(≧0)をかけて
          
      
            x^n/(1+n)≦x^n ・・・@
    となる。また、0≦x≦1において、x^n/(1+n)≧0であるから、

        ∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≧0

      よって、|a_n|=∫[x:0〜1] x^n/(1+x) dx≦∫[x:0〜1]x^n dx=1/(n+1)

    となっています。@の式から∫をつけた後、確か学校では、等号は常に成り立たない場合、等号が外れると習った気がするのですが、どうして今回は等号がついたままなのですか。ちなみにこの問題は、2015山形大の3番の問題です。よろしくお願いします。
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■47522 / ResNo.1)  Re[1]: 不等式と積分
□投稿者/ IT 一般人(2回)-(2015/10/15(Thu) 18:31:33)
    > どうして今回は等号がついたままなのですか
    等号がついたままで間違いがなく、元の命題が正しいことを示すには、それで足りるからだと思います。
    (等号を外すためには、断り書きが必要)
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