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■47367 / 親記事)  三次方程式
  
□投稿者/ まんしょ 一般人(1回)-(2015/06/26(Fri) 00:30:25)
    z に関する方程式 z^3-3z+k=0 (kは実数) の重複を込めた解を α, β, γ とするとき,
    |α+2| + |β+2| + |γ+2| = |α-2| + |β-2| + |γ-2|
    が成り立つことを示せ。

    よろしくお願いします。
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■47369 / ResNo.1)  Re[1]: 三次方程式
□投稿者/ IT 一般人(15回)-(2015/06/26(Fri) 20:52:57)
    2015/06/27(Sat) 07:59:05 編集(投稿者)

    (略解)
    解と係数の関係よりα+β+γ=0 …(1), αβ+βγ+γα=-3 …(2)
    三次方程式ですからα,β,γの少なくとも1つは実数解です。
    他の2つが実数解の場合と虚数解の場合に分けて考えます。

    α,β,γがすべて実数となるのは -2≦k≦2のときで
     このとき 2≦α,β,γ≦2(要証明)なので
         |α+2|+|β+2|+|γ+2|=(α+2)+(β+2)+(γ+2)=(α+β+γ)+6=6
         |α-2|+|β-2|+|γ-2|=-(α-2)-(β-2)-(γ-2)=-(α+β+γ)+6=6
     よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|

    虚数解を持つのは k<-2,k>2のときで
     αを実数解とするとα>2,α<-2である(要証明)
     また、β,γは虚数解で互いに共役なので,β=x+yi,γ=x-yiとおく
      (1)よりx=-α/2…(3),これと(2)よりy^2=(3/4)α^2-3…(4)
     |β+2|=|γ+2|=√{(x+2)^2+y^2}に(3),(4)を代入し整理 
        =√(α-1)^2=|α-1|
     同様に|β-2|=|γ-2|=√(α+1)^2=|α+1|
     よって|α+2|+|β+2|+|γ+2|=|α+2|+2|α-1|
            α>2のとき =3α
            α<-2のとき=-3α
        |α-2|+|β-2|+|γ-2|=|α-2|+2|α+1|
            α>2のとき =3α
            α<-2のとき=-3α
     よって |α+2|+|β+2|+|γ+2|= |α-2|+|β-2|+|γ-2|
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