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■47366 / 親記事)  三角形
  
□投稿者/ 直子 一般人(2回)-(2015/06/25(Thu) 16:49:07)
    A = (0, 0); B = (6, 0);  C を BC=5,AC=7 となる 点とし
    三角形ABCにおいて,点Dを辺AB上に,点Eを辺AC上にとり,
    三角形ADEの面積が三角形ABCの1/3になるようにする。
    辺DEの長さの最小値と、そのときの辺AD、AEの長さを求めよ。
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■47372 / ResNo.1)  Re[1]: 三角形
□投稿者/ 窓を考える 一般人(1回)-(2015/06/29(Mon) 03:04:11)

    C(x1,y1)と置くと、AC=7より(x1)^2+(y1)^2=49―――@

    BC=5より(x1−6)^2+(y1)^2=25―――A

    @−Aより、12(x1)−36=49−25=24 ∴12(x1)=60 ∴x1=5

    ∴(y1)^2=49−25=24 ∴y1=2√6

    ∴△ABC=6×2√6×(1/2)=6√6 ∴△ADE=2√6

    ここでD(x2,0),E(x3,y3)と置くと、x2×y3×(1/2)=2√6 ∴x2y3=4√6 ∴y3=(4√6)/x2―――B

    また、直線ACの方程式は、y=(2√6/5)xよりy3=(2√6/5)x3―――C

    BをCに代入すると、(4√6)/x2=(2√6/5)x3 ∴x3=10/x2 ∴y3=4√6/x2 ∴E(10/x2,4√6/x2)

    ∴DE=√{(x2−10/x2)^2+(4√6/x2)^2}=√{(x2)^2+100/(x2)^2
    −20+96/(x2)^2}=√{(x2)^2+196/(x2)^2 −20}

    よって、y=√{x^2+196/x^2 −20}を微分して最小値を求めれば良い。(相加相乗平均を使った方が楽だが。)

    ただし、ちょっと工夫して、DE^2=(x2)^2+196/(x2)^2 −20からDE^2=yと置いて、

    y=x^2+196/x^2 −20を微分すると、y’=2x−392/x^3=0として、

    x−196/x^3=0 ∴x^4−196=0 ∴(x^2−14)(x^2+14)=0

    ∴x^2=14 ∴x=√14 増減表は省略で最小値は、x=√14の時。

    ∴y=14+14−20=8 ∴DE^2=8 ∴DE=2√2 よって、DEの最小値は2√2

    またAD=x2=x=√14,また、AE=√{(100/x^2)+(96/x^2)}=√(196/x^2)=√14











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