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■47244 / 親記事)  チョコボールの期待値
  
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(1回)-(2015/05/22(Fri) 19:21:51)
    pは1/5より小さい正の実数とします。
    チョコボールを買うとき、
    金のエンゼルが出る確率はp、
    銀のエンゼルが出る確率は5p
    とします。
    金のエンゼルは1枚、
    銀のエンゼルは5枚
    で、おもちゃのカンヅメと交換できます。
    このとき、以下の質問を解説して下さい。
    (1) おもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値はいくらになるでしょうか?
    (2) 銀のエンゼルを廃止して、金のエンゼルが出る確率を2倍にするのは森永製菓の企業戦略として数学的に妥当でしょうか?
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■47248 / ResNo.1)  Re[1]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(326回)-(2015/05/23(Sat) 07:11:27)
    問題の設定がおかしいですが、自作問題ですか?
    例えばp=0.19のとき
    金のエンゼルが出る確率が0.19
    銀のエンゼルが出る確率が0.95
    ですから
    確率の合計が1を超えてしまいます。
    まさか、「金のエンゼルと銀のエンゼルが同時に出ることがある」
    わけではありませんよね?
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■47249 / ResNo.2)  Re[2]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 07:29:28)
    すみません、自作です。

    おっしゃる通りですね。
    p+5p<1
    として下さい。
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■47250 / ResNo.3)  Re[3]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(327回)-(2015/05/23(Sat) 07:34:18)
    もう一つわからない点があるのですが、
    「企業戦略として数学的に妥当」というのは
    数学的にどう判断するのでしょうか。
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■47251 / ResNo.4)  Re[4]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(3回)-(2015/05/23(Sat) 07:47:03)
    金のエンゼルが出る確率を2倍にしたときにおもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値>(1)で求めた値
    であれば数学的に妥当、
    金のエンゼルが出る確率を2倍にしたときにおもちゃのカンヅメをGETするために買わなければならないチョコボールの個数の期待値≦(1)で求めた値
    であるば数学的に不適切
    と考えて下さい。
    この世でチョコボールを買う人間はすべておもちゃのカンヅメを欲しているという前提で、銀のエンゼルの存在が適当か不適当か知りたいのです。
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■47253 / ResNo.5)  Re[5]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(328回)-(2015/05/23(Sat) 08:17:10)
    (1)
    1個買って金が出ない確率は 1-p
    2個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^2
    3個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^3
    4個買って金が1枚も出ない確率は (1-p)^4
    n≧5、0≦m≦4として
    n個買って金が0枚、銀がm枚の確率は nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)
    なので
    1個買ってGETできる確率は p
    2個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^2)-p
    3個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^3)-(1-(1-p)^2)=(1-p)^2-(1-p)^3
    4個買って初めてGETできる確率は (1-(1-p)^4)-(1-(1-p)^3)=(1-p)^3-(1-p)^4
    つまりn≦4のときにn個買って初めてGETできる確率は
    (1-p)^(n-1)-(1-p)^n
    そしてn≧5のときにn個買って初めてGETできる確率は
    (1-Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)})
     -(1-Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)})
    =Σ[m=0〜4]{(n-1)Cm・(5p)^m・(1-6p)^(n-1-m)}
     -Σ[m=0〜4]{nCm・(5p)^m・(1-6p)^(n-m)}
    =
    {(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3+(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2
    +(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
    +(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12
    よって求める期待値は
    Σ[n=1〜4]〔n{(1-p)^(n-1)-(1-p)^n}〕
    +Σ[n=5〜∞]〔n{(1875p^5)n^4+(-20250p^5+250p^4)n^3
    +(80025p^5-3300p^4+150p^3)n^2+(-139410p^5+14630p^4-1530p^3+60p^2)n
    +(93312p^5-21948p^4+3972p^3-348p^2+12p)}(1-6p)^(n-5)/12〕
    =
    (-4p^4+15p^3-20p^2+10p)
    +(31104p^5-116640p^4+155520p^3-77760p^2+4651)/(7776p)
    =4651/(7776p)

    途中計算は非常に大変でしたが、答えは結構シンプルになりました。
    ということは、もっとうまい計算方法があるのかも知れません。

    (2)
    銀のエンゼルを廃止して金のエンゼルの確率を2倍にすると
    期待値は1/(2p)個になりますので、
    (金のエンゼルが出る確率を2倍に変更した時の期待値)<(元の期待値)
    ですから、妥当ではないということになりますね。
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■47255 / ResNo.6)  Re[6]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(5回)-(2015/05/23(Sat) 09:37:20)
    ありがとうございます。
    計算、よくわかりました。
    森永は賢いということですね。
    4651/7776と0.5がどれくらい離れてるのかGoogleの電卓で計算しようと思って検索してみたら
    どうも1-(5/6)^5に等しいみたいなので、裏で何かあるのかもしれません。

    もう一つ教えていただいてもよろしいでしょうか。
    私などの確率ど素人からすれば、(1)と(2)の期待値なんてどうせ等しいだろうと予想してしまうのですが、
    (2)の結論が直感的に明らかと思える思考方法はありますか?
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■47256 / ResNo.7)  Re[7]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(329回)-(2015/05/23(Sat) 09:40:03)
    2015/05/23(Sat) 09:40:45 編集(投稿者)

    Nは十分大きい数として、
    (2)の場合N個買うとおもちゃのカンヅメが2pN個GETできます。
    (1)は
    金のエンゼルがpN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
    銀のエンゼルが5pN個 → おもちゃのカンヅメがpN個
    ですから、やはりおもちゃのカンヅメは2pN個GETできます。
    従って
    「たくさん買ったときにおもちゃのカンヅメがGETできる個数」
    は等しいことになります。
    それで直感的に等しいと思えるということですよね。

    しかし、(2)では最初の1個のおもちゃのカンヅメをGETしたときに
    「余ったエンゼル」はないのに対し、
    (1)では銀のエンゼルが余っている可能性があります。
    その分無駄買いが発生していて、
    (1)の方が期待値が大きくなるということです。
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■47258 / ResNo.8)  Re[8]: チョコボールの期待値
□投稿者/ キョロちゃん 一般人(6回)-(2015/05/23(Sat) 09:52:51)
    >無駄買い

    なるほど!!!
    ありがとうございます!!!
    朝からとてもすっきりしました。
解決済み!
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■47266 / ResNo.9)  Re[9]: チョコボールの期待値
□投稿者/ らすかる 大御所(333回)-(2015/05/23(Sat) 11:42:34)
    今さらですが、もっと簡単な計算方法を思いつきました。

    最初にエンゼルを引いたとき、それが金のエンゼルである確率は1/6
    最初に引いたエンゼルが銀で2番目が金である確率は(5/6)(1/6)
    最初の2つが銀で3番目が金である確率は(5/6)^2・(1/6)
    最初の3つが銀で4番目が金である確率は(5/6)^3・(1/6)
    従って「何回目のエンゼルでおもちゃのカンヅメGETになるか」の期待値は
    (1/6)+2(1/6)(5/6)+3(1/6)(5/6)^2+4(1/6)(5/6)^3
    +5{1-{(1/6)+(1/6)(5/6)+(1/6)(5/6)^2+(1/6)(5/6)^3}}
    =4651/1296回となります。
    1回エンゼルを引くまでの個数の期待値は1/(6p)ですから、
    おもちゃのカンヅメGETになるまでの個数の期待値は
    (4651/1296)(1/(6p))=4651/(7776p)となります。
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