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■47240 / 親記事)  ベクトル
  
□投稿者/ ヴェクター 一般人(1回)-(2015/05/21(Thu) 19:59:35)
    kを実数とします。
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2をみたす平面ベクトル↑x,↑yが存在する ⇔ k<1
    の証明を教えて下さい。
    ベクトルだけでやる方法を教えてほしいです。
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■47241 / ResNo.1)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(7回)-(2015/05/22(Fri) 00:01:24)
    ↑x・↑y=kかつ|↑x+↑y|=2 …(1)のとき
    ↑xと↑x+↑yのなす角をθとする。
    ↑y=(↑x+↑y)-↑x を↑x・↑y=kに代入
    ↑x・{(↑x+↑y)-↑x}=k
    |↑x||↑x+↑y|cosθ-|↑x||↑x|=k
    2cosθ|↑x|-|↑x|^2=k
    移項して|↑x|^2-2cosθ|↑x|+k=0
    |↑x|実数なので判別式(cosθ)^2-k≧0
    移項してk≦(cosθ)^2
    よって k≦1

    逆にk≦1のとき
    k<0のとき
     |↑x|=√(-k)である↑xをとり
     ↑xに直交する大きさ2のベクトルを↑zとする.
    ↑y=↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす。
    k=0のとき
     |↑x|=0,|↑y|=2である↑x,↑yをとると(1)を満たす。
    0<k≦1のとき
      cosθ=kとなるθをとる
     |↑x|=√kである↑xをとり
     ↑xと角θをなし大きさ2のベクトルを↑zとする.
    ↑y=↑z-↑xとすると,↑x,↑yは(1)を満たす
     
    ↑x=↑yかつ|x|=1のとき
    ↑x・↑y=1かつ|↑x+↑y|=2となると思うのですが
    ↑xと↑yには、他に何か条件があるのでしょうか?
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■47242 / ResNo.2)  Re[1]: ベクトル
□投稿者/ IT 一般人(8回)-(2015/05/22(Fri) 00:32:24)
    2015/05/22(Fri) 00:33:19 編集(投稿者)

    k≦1のとき
     |↑x|=1+√(1-k), ↑y=[{1-√(1-k)}/{1+√(1-k)}]↑x,としても条件(1)を満たしますね。
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■47252 / ResNo.3)  Re[2]: ベクトル
□投稿者/ ヴェクター 一般人(2回)-(2015/05/23(Sat) 08:15:12)
    ありがとうございます。
    すみません、k≦1でした。

    この証明って、係数体が実数体の内積を持つ一般的なベクトル空間に対しても適用できますよね?
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