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■47229 / 親記事) 　数列の収束
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□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(1回)-(2015/05/19(Tue) 17:01:39)
    a[0]=0
    a[n+1]=cos(a[n])
    で定めた数列{a[n]}が収束することの
    証明が知りたいので教えて下さい。
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■47230 / ResNo.1) 　Re[1]: 数列の収束
□投稿者/ IT 一般人(5回)-(2015/05/19(Tue) 18:54:09)
    2015/05/19(Tue) 19:03:01 編集(投稿者)

    方針だけ　y＝cosx,y＝xのグラフを描いて考えると見通しがいいと思います

    　α＝cosα,0＜α＜π/2 なるαが存在
    　|a[n+1]-α|＝|cos(a[n])-cosα|
    　＝|-sin(c[n])||a[n]-α|, 0＜c[n]＜1なるc[n]が存在（平均値の定理）
    ≦(sin1)|a[n]-α|
    　0＜sin1＜1なのでa[n]はαに収束.
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■47231 / ResNo.2) 　Re[2]: 数列の収束
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(2回)-(2015/05/19(Tue) 19:01:20)
    2015/05/19(Tue) 19:02:06 編集(投稿者)
    ■No47230に返信(ITさんの記事)
    > 2015/05/19(Tue) 18:59:56 編集(投稿者)
    >
    > 方針だけ　y＝cosx,y＝xのグラフを描いて考えると見通しがいいと思います
    > 　α＝cosα,0＜α＜π/2 なるαが存在
    > 　|a[n+1]-α|＝|cos(a[n])-cosα|
    > 　＝|-sin(c[n])||a[n]-cosα|, 0＜c[n]＜1なるc[n]が存在,（平均値の定理）
    > ＝|-sin(c[n])||a[n]-α|


    lim[n→∞]|sin(c[1])sin(c[2])…sin(c[n])|=0
    となることはどのように分かるのですか？
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■47232 / ResNo.3) 　Re[3]: 数列の収束
□投稿者/ IT 一般人(6回)-(2015/05/19(Tue) 19:05:36)
    2015/05/19(Tue) 19:06:27 編集(投稿者)

    ０＜sin(c[n])＜sin1＜1 ですから。
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■47233 / ResNo.4) 　Re[4]: 数列の収束
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(3回)-(2015/05/19(Tue) 19:25:26)
    なるほどです。
解決済み!
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