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■47229 / 親記事)  数列の収束
  
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(1回)-(2015/05/19(Tue) 17:01:39)
    a[0]=0
    a[n+1]=cos(a[n])
    で定めた数列{a[n]}が収束することの
    証明が知りたいので教えて下さい。
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■47230 / ResNo.1)  Re[1]: 数列の収束
□投稿者/ IT 一般人(5回)-(2015/05/19(Tue) 18:54:09)
    2015/05/19(Tue) 19:03:01 編集(投稿者)

    方針だけ y=cosx,y=xのグラフを描いて考えると見通しがいいと思います

     α=cosα,0<α<π/2 なるαが存在
     |a[n+1]-α|=|cos(a[n])-cosα|
     =|-sin(c[n])||a[n]-α|, 0<c[n]<1なるc[n]が存在(平均値の定理)
    ≦(sin1)|a[n]-α|
     0<sin1<1なのでa[n]はαに収束.
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■47231 / ResNo.2)  Re[2]: 数列の収束
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(2回)-(2015/05/19(Tue) 19:01:20)
    2015/05/19(Tue) 19:02:06 編集(投稿者)
    No47230に返信(ITさんの記事)
    > 2015/05/19(Tue) 18:59:56 編集(投稿者)
    >
    > 方針だけ y=cosx,y=xのグラフを描いて考えると見通しがいいと思います
    >  α=cosα,0<α<π/2 なるαが存在
    >  |a[n+1]-α|=|cos(a[n])-cosα|
    >  =|-sin(c[n])||a[n]-cosα|, 0<c[n]<1なるc[n]が存在,(平均値の定理)
    > =|-sin(c[n])||a[n]-α|


    lim[n→∞]|sin(c[1])sin(c[2])…sin(c[n])|=0
    となることはどのように分かるのですか?
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■47232 / ResNo.3)  Re[3]: 数列の収束
□投稿者/ IT 一般人(6回)-(2015/05/19(Tue) 19:05:36)
    2015/05/19(Tue) 19:06:27 編集(投稿者)

    0<sin(c[n])<sin1<1 ですから。
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■47233 / ResNo.4)  Re[4]: 数列の収束
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(3回)-(2015/05/19(Tue) 19:25:26)
    なるほどです。
解決済み!
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