数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

■47175 / 親記事)  平方数
  
□投稿者/ 平方数とは 一般人(1回)-(2015/05/09(Sat) 12:15:09)
    1以上9以下の整数a,bと正の整数nで、a*10^n+bが平方数となるものを教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47180 / ResNo.1)  Re[1]: 平方数
□投稿者/ らすかる 大御所(320回)-(2015/05/10(Sun) 01:15:31)
    2015/05/10(Sun) 01:28:11 編集(投稿者)

    n≧4とします。
    m^2≡0,1(mod4)ですから
    m^2がa0000…0002,a0000…0003,a0000…0006,a0000…0007となることはありません。
    a0000…0005は素因数5をちょうど1個持ちますので、
    m^2がa0000…0005となることはありません。
    a0000…0008は素因数2をちょうど3個持ちますので、
    m^2がa0000…0008となることはありません。
    残る可能性はb=1,4,9です。

    m^2=a0000…0004のときm≡2(mod4)ですから
    m=4k+2とおくとm^2=16k(k+1)+4
    16k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので
    kかk+1のどちらかが5^nで割り切れ、
    kかk+1のどちらかが2^(n-4)で割り切れ、
    k(k+1)を2^(n-4)・5^nで割った商が1〜9でなければなりません。
    よってkとk+1は一方が2^(n-4)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値です。
    しかし近い値では(2の素因数の個数)>(5の素因数の個数)ですから
    kとk+1がそのような値になることはありません。
    従ってm^2=a0000…0004となることもありません。

    m^2=a0000…0001のときm≡1(mod2)ですから
    m=2k+1とおくとm^2=4k(k+1)+1
    4k(k+1)がa0000…0000とならなければいけませんので、
    kとk+1は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。

    m^2=a0000…0009のときm≡1(mod2)ですから
    m=2k+3とおくとm^2=4k(k+3)+9
    4k(k+3)がa0000…0000とならなければいけませんので、
    kとk+3は一方が2^(n-2)に1桁の自然数を掛けた値、
    他方が5^nに1桁の自然数を掛けた値となり、上と同様にあり得ません。
    従ってb=1,4,9もあり得ませんので、n≧4でa*10^n+bが平方数となることはありません。

    よってn<4の組合せをすべて確かめることにより、
    (a,b,n)=(1,6,1),(2,5,1),(3,6,1),(4,9,1),(6,4,1),(8,1,1)
    が全解とわかります。

    補足
    「近い値では(2の素因数の個数)>(5の素因数の個数)ですから」というのは
    5^4=625以上の5の累乗数と比較して10倍以内の違いしかない2の累乗数の方が
    素因数の個数が多い、という意味です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47193 / ResNo.2)  Re[2]: 平方数
□投稿者/ 平方数とは 一般人(2回)-(2015/05/11(Mon) 21:35:15)
    有難うございます。
    分かり易かったです。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



スレッド内ページ移動 / << 0 >>

このスレッドに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター