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■47019 / 親記事)  有理数
  
□投稿者/ トラブリュ 一般人(1回)-(2015/03/30(Mon) 17:35:02)
    次の条件を満たす自然数nを全て教えて下さい。

    条件
    有理数を成分とする可逆な2次正方行列Aが存在して、A^nが単位行列になる。
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■47020 / ResNo.1)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ WIZ 一般人(43回)-(2015/03/30(Mon) 18:15:40)
    A自身を単位行列とすれば、全ての自然数で条件を満たすと思いますが。
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■47021 / ResNo.2)  Re[2]: 有理数
□投稿者/ トラブリュ 一般人(2回)-(2015/03/30(Mon) 18:21:31)
    すみません、Aは単位行列ではないとして下さい。
    位数として何があるか知りたいのです。
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■47028 / ResNo.3)  Re[1]: 有理数
□投稿者/ WIZ 一般人(44回)-(2015/03/31(Tue) 19:49:10)
    回答ではなく参考情報です。

    a, b, c, dを有理数として、A = ((a, b)(c, d)), E = ((1, 0)(0, 1))とすると、
    ケーリーハミルトンの定理より、A^2 = (a+d)A+(bc-ad)Eです。

    上記右辺が単位行列に等しい為には、a+d = 0, bc-ad = 1であれば十分なので、
    aを任意の有理数として、d = -a, b = 1-(a^2), c = 1とすれば十分です。
    よって、n = 2は条件を満たしますが、任意の自然数mに対して、
    A^2 = Eの両辺をm乗すればA^(2m) = E^m = Eとなり、全ての偶数である自然数は条件を満たします。

    奇数については上手い方法が思い付きません。

    n = 3については、A^2 = (a+d)A+(bc-ad)Eの両辺にAを乗じて、
    A^3 = (a+d)(A^2)+(bc-ad)A
    = (a+d)((a+d)A+(bc-ad)E)+(bc-ad)A
    = {(a+d)^2+(bc-ad)}A+(a+d)(bc-ad)E
    となって、
    (a+d)^2+(bc-ad) = 0・・・・・(1)
    (a+d)(bc-ad) = 1・・・・・(2)
    であれば十分です。

    (2)からx = a+dとおけば、x ≠ 0ですので、bc-ad = 1/xです。
    これらを(1)に代入すると、
    (x^2)+1/x = 0 ⇒ (x^3)+1 = 0
    となり、xは有理数ですからx = -1となります。よって、
    a+d = -1・・・・・(3)
    bc-ad = -1・・・・・(4)
    となれば十分です。

    (3)からd = -a-1ですので、これを(4)に代入すると、
    bc-a(-a-1) = -1 ⇒ bc = -(a^2)-a-1となり、b = -(a^2)-a-1, c = 1とすれば十分です。
    以上から、n = 3及び、nが3の倍数である自然数の場合は条件を満たすと言えます。

    一般の2以上の自然数nについては、ケーリーハミルトンの定理から、
    A^n = p[n]A+q[n]Eとなる係数p[n], q[n]をa, b, c, dの式で表すことはできると思いますが、
    上手くa, b, c, dの有理数値を選んで、p[n] = 0, q[n] = 1とできるかまでは計算してません。
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