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■46990 / 親記事)  整数問題
  
□投稿者/ とり天 一般人(1回)-(2015/03/26(Thu) 13:11:27)
    m(m+1)=8n(n+1)
    をみたす自然数(m,n)の求め方おしえてください。
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■46999 / ResNo.1)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(38回)-(2015/03/27(Fri) 21:02:36)
    u, vを整数として、m = f(u, v), n = g(u, v)とパラメタ表示はできました。
    しかし、以下で解を網羅しているか自信が無いのと、
    実際自然数となるのm, nの値を計算するのは困難なので実用性(?)はありません。

    技巧的ですが、
    m(m+1) = 8n(n+1)
    ⇒ m(m+1)+{(n^2)-2n+1} = 9(n^2)+6n+1
    ⇒ m(m+1)+{(n-1)^2} = (3n+1)^2
    ⇒ {4(m^2)+4m}+4{(n-1)^2} = 4{(3n+1)^2}
    ⇒ {4(m^2)+4m+1}+{(2n-2)^2} = {(6n+2)^2}+1
    ⇒ {(2m+1)^2}+{(2n-2)^2} = {(6n+2)^2}+(1^2)
    と変形できます。

    a = 2m+1, b = 2n-2, c = 6n+2, d = 1, e = (a^2)+(b^2) = (c^2)+(d^2)とおけば、
    非負整数eは2個(以下)の平方数の和に表せる訳です。

    もし、(a^2)+(b^2)と(c^2)+(d^2)が符号や順番を度外視して同一の2平方数の和を表していると仮定すると、
    m, nは自然数ですので、a = 2m+1 > 1かつb = 2n-2は偶数ですので、
    a, bも±d = ±1に等しくなることができず不合理です。
    よって、(a^2)+(b^2)と(c^2)+(d^2)は符号や順番を度外視して同一の2平方数の和ではありません。

    a = 2m+1 > 1, c = 6n+2 > 1からeは自然数となります。
    自然数eが2個の平方数の和に2通りに表せるのば、ある整数u, v, x, yが存在して、
    (u, v) = (x, y) = 1であり、
    e = {(u^2)+(v^2)}{(x^2)+(y^2)} = {(ux+vy)^2}+{(uy-vx)^2} = {(ux-vy)^2}+{(uy+vx)^2}
    と表される場合です。
    # 上記は自明ではないですが、証明は省略させて頂きます。

    a = 2m+1 = ux+vy・・・・・(1)
    b = 2n-2 = uy-vx・・・・・(2)
    c = 6n+2 = ux-vy・・・・・(3)
    d = 1 = uy+vx・・・・・(4)
    とします。

    (4)より、
    y = (1-vx)/u・・・・・(5)

    (3)-3*(2)に(5)を代入して、
    (6n+2)-3(2n-2) = (ux-vy)-3(uy-vx)
    ⇒ 8 = (u+3v)x-(v+3u)(1-vx)/u
    ⇒ 8u = {(u^2)+3uv}x-(v+3u)(1-vx) = {(u^2)+6uv+(v^2)}x-(v+3u)
    ⇒ 11u+v = {(u^2)+6uv+(v^2)}x
    ⇒ x = (11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(6)

    (6)を(5)に代入すると、
    y = (1-v(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)})/u
    = {{(u^2)+6uv+(v^2)}-{11uv+(v^2)}}/{u{(u^2)+6uv+(v^2)}}
    = {(u^2)-5uv}/{u{(u^2)+6uv+(v^2)}}
    = (u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(7)

    (1)に(6)(7)を代入して、
    2m+1 = u(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}+v(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {11(u^2)+uv+uv-5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {11(u^2)+2uv-5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    ⇒ 2m = {{11(u^2)+2uv-5(v^2)}-{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {10(u^2)-4uv-6(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    ⇒ m = {5(u^2)-2uv-3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(8)

    (2)に(6)(7)を代入して、
    2n-2 = u(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}-v(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {(u^2)-5uv-11uv-(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {(u^2)-16uv-(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    ⇒ 2n = {{(u^2)-16uv-(v^2)}+2{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = {3(u^2)-4uv+(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    = (3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    ⇒ n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}・・・・・(9)

    # 以下は検算を兼ねて計算してみただけ。
    # (3)に(6)(7)を代入して、
    # 6n+2 = u(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}-v(u-5v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    # = {11(u^2)+uv-uv+5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    # = {11(u^2)+5(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    # ⇒ 6n = {{11(u^2)+5(v^2)}-2{(u^2)+6uv+(v^2)}}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    # = {9(u^2)-12uv+3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    # ⇒ n = (1/2){3(u^2)-4uv+(v^2))}/{(u^2)+6uv+(v^2)}

    ・・・と、一応以下の通りとなり、u, vの値に関わらず恒等式としてm(m+1) = 8n(n+1)が成立します。
    m = {5(u^2)-2uv-3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    m+1 = {6(u^2)+4uv-2(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = 2(3u-v)(u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    n = (1/2){3(u^2)-4uv+(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    n+1 = (1/2){5(u^2)+8uv+3(v^2)}/{(u^2)+6uv+(v^2)} = (1/2)(5u+3v)(u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}

    但し、上記式からm, nが共に自然数となる整数u, vの組み合わせを見つけるの至難の業でしょう!
    目視で(m, n) = (15, 5)(32, 11)という解がありますが、このときのu, vの値は分かりませんでした。
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■47000 / ResNo.2)  Re[2]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(294回)-(2015/03/27(Fri) 21:45:08)
    (u,v)=(9,-1)のとき(m,n)=(15,5)
    (u,v)=(7,-1)のとき(m,n)=(32,11)
    となりますね。
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■47005 / ResNo.3)  Re[3]: 整数問題
□投稿者/ みずき 付き人(52回)-(2015/03/29(Sun) 01:58:40)
    No47000に返信(らすかるさんの記事)
    > (u,v)=(9,-1)のとき(m,n)=(15,5)
    > (u,v)=(7,-1)のとき(m,n)=(32,11)
    > となりますね。

    (u,v)=(9,-1)のとき、(x,y)=(7/2,1/2)
    (u,v)=(7,-1)のとき、(x,y)=(19/2,3/2)
    となって、x,yが整数にならないようなのですが、
    これって問題ないのでしょうか。
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■47006 / ResNo.4)  Re[4]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(295回)-(2015/03/29(Sun) 02:29:13)
    最後の式しか見ていませんでした。
    確かにx,yが整数にならないと途中の論理が成り立たなそうですね。
    そう考えると、適するu,vの値を見つけるのはちょっと無理そうです。
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■47007 / ResNo.5)  Re[5]: 整数問題
□投稿者/ みずき 付き人(53回)-(2015/03/29(Sun) 04:43:56)
    No47006に返信(らすかるさんの記事)
    > 確かにx,yが整数にならないと途中の論理が成り立たなそうですね。
    > そう考えると、適するu,vの値を見つけるのはちょっと無理そうです。

    そうですね。WIZさんの論理を私が正しく解釈していれば、
    (m,n)=(15,5)となるような整数の組(u,v,x,y)が存在しないことは
    次のように示せると思います。
    m=(5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=15
    n=(1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=5
    x=(11u+v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    y=(1-vx)/u
    なる整数(u,v,x,y)が存在すると仮定
    ⇒(5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}=3*(1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    ⇒2(5u+3v)(u-v)=3(3u-v)(u-v)
    ⇒v=-u/9 (∵u≠v)
    ⇒x=(11u+(-u/9))/{(u^2)+6u(-u/9)+(-u/9)^2}=63/(2u)
    しかし、これを満たす整数の組(x,u)は存在しない。よって、仮定が誤り。
    よって、WIZさんのパラメタ表示は(m,n)=(15,5)を表せない。
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■47009 / ResNo.6)  Re[6]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(297回)-(2015/03/29(Sun) 07:58:46)
    あらためて考えました。

    m(m+1)=8n(n+1)を変形して
    (2m+1)^2-8(2n+1)^2=-7
    x^2-8y^2=-7の自然数解を(x,y)=(a[n],b[n])とすると
    (a[n],b[n])の漸化式は
    a[1]=1, a[2]=5, a[3]=11, a[4]=31, a[n]=6a[n-2]-a[n-4]
    b[1]=1, b[2]=2, b[3]=4, b[4]=11, b[n]=6b[n-2]-b[n-4]
    http://oeis.org/A077446
    x,yは奇数でなければなりませんが、
    b[n]はn≡2,3(mod4)のとき偶数になります(a[n]は常に奇数)ので
    これを飛ばして(a[1],b[1])=(31,11)となるように漸化式を作り直すと
    a[1]=31, a[2]=65, a[3]=1055, a[4]=2209, a[n]=34a[n-2]-a[n-4]
    b[1]=11, b[2]=23, b[3]=373, b[4]=781, b[n]=34b[n-2]-b[n-4]
    さらにこれをm,nの漸化式になるように作り直すと
    a[1]=15, a[2]=32, a[3]=527, a[4]=1104, a[n]=34a[n-2]-a[n-4]+16
    b[1]=5, b[2]=11, b[3]=186, b[4]=390, b[n]=34b[n-2]-b[n-4]+16
    この漸化式による
    (a[n],b[n])=
    (15,5), (32,11), (527,186), (1104,390), (17919,6335), (37520,13265),
    (608735,215220), (1274592,450636), (20679087,7311161), (43298624,15308375),…
    が(m,n)の一般解になりますね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■47011 / ResNo.7)  Re[1]: 整数問題
□投稿者/ WIZ 一般人(40回)-(2015/03/29(Sun) 16:02:54)
    みずきさんの47005
    > (u,v)=(9,-1)のとき、(x,y)=(7/2,1/2)
    > (u,v)=(7,-1)のとき、(x,y)=(19/2,3/2)
    > となって、x,yが整数にならないようなのですが、
    > これって問題ないのでしょうか。

    みずきさんの47007
    > ⇒x=(11u+(-u/9))/{(u^2)+6u(-u/9)+(-u/9)^2}=63/(2u)
    > しかし、これを満たす整数の組(x,u)は存在しない。よって、仮定が誤り。
    > よって、WIZさんのパラメタ表示は(m,n)=(15,5)を表せない。

    上記はu, v, x, yが4つとも整数であるという前提であれば正しいです。
    かつ、私の示したパラメタ表示もu, v, x, yが4つとも整数であるという前提から演繹していたのも事実です。

    但し、最終的に得られた
    m = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    は、u, v(と消去されているけどx, y)の値が整数でなくてもm(m+1) = 8n(n+1)を恒等的に満たしていますので
    整数以外の値であってもu, vを与えて、m, nが自然数になるのならば、それはm(m+1) = 8n(n+1)を満たすとは言えますね。
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■47012 / ResNo.8)  Re[2]: 整数問題
□投稿者/ みずき 付き人(54回)-(2015/03/29(Sun) 20:38:59)
    No47011に返信(WIZさんの記事)
    > 但し、最終的に得られた
    > m = (5u+3v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    > n = (1/2)(3u-v)(u-v)/{(u^2)+6uv+(v^2)}
    > は、u, v(と消去されているけどx, y)の値が整数でなくてもm(m+1) = 8n(n+1)を恒等的に満たしていますので
    > 整数以外の値であってもu, vを与えて、m, nが自然数になるのならば、それはm(m+1) = 8n(n+1)を満たすとは言えますね。

    確かにそうですね。言われてみれば納得です。ありがとうございます。

    ちなみに、
    命題A:(u,v)=(x,y)=1かつa=ux+vy,b=uy-vx,c=ux-vy,d=uy+vxなる整数の組(u,v,x,y)が存在する。
    命題B:自然数eが e=(a^2)+(b^2)=(c^2)+(d^2)と2個の平方数の和に2通りに表せる。
    としたとき、私はWIZさんが「A⇒Bは真」を用いられたと理解していますが、
    この理解で正しいですよね?
    また、「A⇔Bは真」は正しいのでしょうか?

    # とり天さん、スレ汚しすみません。
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■47016 / ResNo.9)  Re[7]: 整数問題
□投稿者/ らすかる 大御所(298回)-(2015/03/30(Mon) 15:35:20)
    m(m+1)=8n(n+1) を満たす自然数(m,n)のk番目の解は
    (m,n)=([{{3-(√2)(-1)^k}(√2+1)^(2k+1)}/4],[{{3√2-2(-1)^k}(√2+1)^(2k+1)}/16]) ([ ]はガウス記号)
    となりました。
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