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■46889
/ 親記事)
角谷・コラッツ
▼
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□投稿者/ CEGIPO
一般人(12回)-(2015/02/24(Tue) 08:30:57)
2015/02/24(Tue) 11:46:59 編集(投稿者)
2015/02/24(Tue) 11:46:40 編集(投稿者)
(既出だったらごめんなさい)
角谷・コラッツ予想の数列の挙動を調べていたところ、
次のような興味深い性質を見つけました。
以下で、角谷数列を
例)n=9⇒28→14→7⇒22→11⇒34→17⇒52→26→13
⇒40→20→10→5⇒16→8→4→2→1
のように表記するものとします。
ここで、
⇒は左辺が奇数なので3倍して1を足す操作、
→は左辺が偶数なので2で割る操作とします。
この時、系列に現れる⇒の個数をf(n)と表示することにすると、
次の性質が成り立つように見受けられます。
f(1・2^(2n-1)-1)=f(1・2^(2n )-1) (n≧2)
f(3・2^(2n )-1)=f(3・2^(2n+1)-1) (以下、n≧1)
f(5・2^(2n-1)-1)=f(5・2^(2n )-1)
f(7・2^(2n )-1)=f(7・2^(2n+1)-1)
f(9・2^(2n-1)-1)=f(9・2^(2n )-1)
...
例)
f(7)=f(15)
f(31)=f(63)
...
f(11)=f(23)
f(47)=f(95)
...
f(9)=f(19)
f(39)=f(79)
...
f(27)=f(55)
f(111)=f(223)
...
f(17)=f(35)
f(71)=f(143)
...
これらは証明可能でしょうか?
数列(掲載省略)を見たところ、→と⇒の配置の同型
という箇所がありそうに思えます。
引用返信
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■46894
/ ResNo.1)
Re[1]: 角谷・コラッツ
▲
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■
□投稿者/ みずき
一般人(43回)-(2015/02/24(Tue) 20:59:19)
正しいと思います。
kを正の整数とするとき
f((4k-3)・2^(2n-1)-1)=f((4k-3)・2^(2n)-1)
が成り立つことを示します。
(4k-3)・2^(2n-1)-1
⇒3(4k-3)・2^(2n-1)-2
→3(4k-3)・2^(2n-2)-1
⇒3^2・(4k-3)・2^(2n-2)-2
→3^2・(4k-3)・2^(2n-3)-1
⇒3^3・(4k-3)・2^(2n-3)-2
→3^3・(4k-3)・2^(2n-4)-1
・・・
→3^(2n-1)・(4k-3)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n-1個]
→{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]
⇒{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [ここまでに⇒は2n個]
一方、
(4k-3)・2^(2n)-1
⇒3(4k-3)・2^(2n)-2
→3(4k-3)・2^(2n-1)-1
⇒3^2・(4k-3)・2^(2n-1)-2
→3^2・(4k-3)・2^(2n-2)-1
⇒3^3・(4k-3)・2^(2n-2)-2
→3^3・(4k-3)・2^(2n-3)-1
・・・
→3^(2n)・(4k-3)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
→{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数]
以上により、任意の正整数kに対して
f((4k-3)・2^(2n-1)-1)=f((4k-3)・2^(2n)-1)
が成り立つことが示されました。
# f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
# が成り立つことも同様に示せると思います。
引用返信
/
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■46897
/ ResNo.2)
Re[2]: 角谷・コラッツ
▲
▼
■
□投稿者/ CEGIPO
一般人(14回)-(2015/02/27(Fri) 15:10:49)
返信遅くなりました。みずきさん、回答ありがとうございます。
みずきさんの回答で
→{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
...と
→{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
の箇所がすぐにわからなかったので自分で補題を考えてみました。
あ)
{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2
={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n-1)・3^1-1}/2
={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n)-1}/2
3^(2n)+1≡2(mod.4)を数学的帰納法で示します。
n=1の時3^(2・1)+1=10≡2(mod.4)で明らか
次に
n=kの時3^(2k)+1≡2(mod.4)が成立していたとすると
3^(2(k+1))+1=9{3^(2k)}+1=9{3^(2k)+1}-8≡9*2-8≡2(mod.4)
よって成り立つ。
い)
{3^(2n)・(4k-3)-1}/2
={3^(2n)・(4k)-3^(2n)・3^1-1}/2
={3^(2n)・(4k)-3^(2n+1)-1}/2
3^(2n+1)+1≡0(mod.4)を数学的帰納法で示します。
n=1の時3^(2・1+1)+1=28≡0(mod.4)で明らか
次に
n=kの時3^(2k+1)+1≡0(mod.4)が成立していたとすると
3^(2(k+1)+1)+1=9{3^(2k+1)}+1=9{3^(2k+1)+1}-8=9*0-8≡0(mod.4)
よって成り立つ。
従って、[A1]、[B1]の表現(奇数、偶数)が共に成り立つことがわかりました。
(もっと簡単に示す方法もありますか?何か定理があるとか?)
↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します(手抜きですみません)
# f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
# が成り立つことも同様に示せると思います。...の補足証明
kを正の整数とするとき
f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
が成り立つことを示します。
(4k-1)・2^(2n)-1
⇒3(4k-1)・2^(2n)-2
→3(4k-1)・2^(2n-1)-1
⇒3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-2
→3^2・(4k-1)・2^(2n-2)-1
⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-2
→3^3・(4k-1)・2^(2n-3)-1
・・・
→3^(2n)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
→{3^(2n)・(4k-1)-1}/2 [これは奇数]
⇒{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2[これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] ...[C1]
一方、
(4k-1)・2^(2n+1)-1
⇒3(4k-1)・2^(2n+1)-2
→3(4k-1)・2^(2n)-1
⇒3^2・(4k-1)・2^(2n)-2
→3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-1
⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-1)-2
→3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-1
・・・
→3^(2n+1)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n+1個]
→{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2 [これは偶数]...[D1]
[C1]と[D1]の式が同型でそこに至るまでに現れる⇒の数も同じ
ということでよいでしょうか?読みにくくてすみません。
引用返信
/
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■46900
/ ResNo.3)
Re[3]: 角谷・コラッツ
▲
▼
■
□投稿者/ みずき
一般人(44回)-(2015/02/27(Fri) 18:41:13)
■
No46897
に返信(CEGIPOさんの記事)
> →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
> →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]
> (もっと簡単に示す方法もありますか?)
あります。以下、合同式の法を4とします。
[A1]について:3^(2n-1)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n-1)・(-3)-1≡3-1≡2
[B1]について:3^(2n)・(4k-3)-1≡(-1)^(2n)・(-3)-1≡-3-1≡0
> ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します
(略)
> ということでよいでしょうか?
良いと思います。
引用返信
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■46902
/ ResNo.4)
Re[4]: 角谷・コラッツ
▲
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■
□投稿者/ CEGIPO
一般人(15回)-(2015/02/28(Sat) 06:36:29)
なる程、よくわかりました。ありがとうございました。
解決済み!
引用返信
/
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■47497
/ ResNo.5)
Re[5]: 角谷・コラッツ
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■
□投稿者/ 成清 愼
一般人(1回)-(2015/09/11(Fri) 05:22:54)
http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz.htm
で考えを纏めてみました。よろしくご査収の上、ご批評頂ければ幸いです。
引用返信
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■47510
/ ResNo.6)
Re[6]: 角谷・コラッツ
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□投稿者/ 成清 愼
一般人(2回)-(2015/10/07(Wed) 18:27:29)
http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatz2.htm
修正しました
引用返信
/
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■47518
/ ResNo.7)
Re[7]: 角谷・コラッツ
▲
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■
□投稿者/ 成清 愼
一般人(6回)-(2015/10/12(Mon) 21:11:39)
英語版を作成しました
http://koubeichizoku.doujin.so/collatz/collatze2.htm
引用返信
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