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■50117 / 親記事)

　増減表の作り方

□投稿者/ 画宇巣一般人(3回)-(2019/10/24(Thu) 23:18:43)

　高校数学＋α程度の微積分を大急ぎで復習しています。とりあえず計算になれるために微分はグラフの書き方から始めています。まったく忘れているわけではないので、グラフを描くのに必要な知識はそのたびに前のページに戻って確認しています。
　　y = (x-1)/(x^2+1)
のブラフを書けと言われたら
　　y' = { (x^2+1) - (x-1)2x }/(x^2+1)^2
　　　 = (-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2
　　y' = 0 を解くと x = 1±√2
　ここで増減表を作成する必要に迫られますが、私の持っている数Ⅲの参考書は最もやさしいレベルなのですが、計算過程を示さず、いきなり増減表を書いています。
　で、質問なのですが y' の向きを調べるには
　　x < 1-√2, 1-√2 < x < 1+√2, x > 1+√2
を満たす具体的な数値（計算が楽な数値を選ぶ）
　　x = -1, x = 1, x = 3
を y'（この例ではy'の分子）に放り込んで判断するという手順でよいのですよね？

　あと、グラフを描くのに二階導関数で変曲点を求める方法がありますが、これを求めないとグラフを描くのが難しい関数の例を教えていただけたら幸いです。グラフが上に凸、下に凸ということを調べるだけなら一導関数だけでいいような気がしますけど。

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■50118 / ResNo.1)

　Re[1]: 増減表の作り方

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□投稿者/ らすかる一般人(41回)-(2019/10/25(Fri) 00:12:14)

> y' の向きを調べるには
> 　　x < 1-√2, 1-√2 < x < 1+√2, x > 1+√2
> を満たす具体的な数値（計算が楽な数値を選ぶ）
> 　　x = -1, x = 1, x = 3
> を y'（この例ではy'の分子）に放り込んで判断するという手順でよいのですよね？

そのようにすると楽な場合はあると思いますが、
y'=(-x^2+2x+1)/(x^2+1)^2ならば
y=-x^2+2x+1のグラフの概形は「x軸と2点で交わる上に凸な放物線」と
思い浮かびますので、わざわざ値を代入して計算しなくても
y'=0の解で区切られた各区間におけるy'の正負はわかりますね。
ですからこの問題ならいきなり増減表が書けます。

> 二階導関数で変曲点を求める方法がありますが、これを求めないと
> グラフを描くのが難しい関数の例

例えば
y=1/(1+x^3)　（-2≦x≦2,x≠-1）
とかいかがでしょうか。

> グラフが上に凸、下に凸ということを調べるだけなら
> 一導関数だけでいいような気がしますけど。

一階導関数では「上に凸」や「下に凸」はわかりません。
単に増減がわかるだけです。

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■50119 / ResNo.2)

　Re[2]: 増減表の作り方

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□投稿者/ 画宇巣一般人(4回)-(2019/10/25(Fri) 09:19:14)

　回答ありがとうございます。いろいろ忘れているので大変助かります。
　

> 一階導関数では「上に凸」や「下に凸」はわかりません。
> 単に増減がわかるだけです。

　これなんですが、関数f(x)がx=aにおいてf'(a)=0でありx=aの前後で符号が変わるとき、
たとえば
　　( x<a⇒f'(a)>0 かつ x>a⇒f'(a)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸
と判断してはまずい理由を教えてください。

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■50121 / ResNo.3)

　Re[3]: 増減表の作り方

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□投稿者/ らすかる一般人(43回)-(2019/10/25(Fri) 09:59:37)

「( x<a⇒f'(a)>0 かつ x>a⇒f'(a)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸」は
「( x<a⇒f'(x)>0 かつ x>a⇒f'(x)<0 ) ⇒ f(x)は上に凸」の
書き間違いだと思いますが、例えば
f(x)=1/(x^2+1)はf'(x)=-2x/(x^2+1)^2から
f'(0)=0、x＜0⇒f'(x)＞0かつx＞0⇒f'(x)＜0
を満たしますが「f(x)は上に凸」ではありません。
もしグラフソフトをお持ちなら描いてみて下さい。

また、例えばf(x)=e^xはf'(a)=0となるようなaが存在しませんので
その論理は使えずどちらに凸かわかりません。

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■50122 / ResNo.4)

　Re[4]: 増減表の作り方

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□投稿者/ 画宇巣一般人(5回)-(2019/10/25(Fri) 10:43:12)

　丁寧な回答、誠にありがとうございます。
　教科書の読み込み不足もあるかと思いますが、やはりよくわかりません。
　上に凸なグラフとは、ある点で極大値をとるような部分がある関数のことではないのでしょうか？
　　f(x)=1/(x^2+1)
は x=0 で極大値をとるので「上に凸なグラフ」のように思えるのですが。

802×487 => 250×151

1571967792.png/11KB

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■50123 / ResNo.5)

　Re[5]: 増減表の作り方

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□投稿者/ らすかる一般人(44回)-(2019/10/25(Fri) 12:18:36)

2019/10/25(Fri) 13:07:04 編集(投稿者)

全然違います。
「ある点で極大値をとるような部分がある関数」だとすると、
例えばy=x^3-3xのようなグラフも「上に凸な関数」になってしまって
正しくありませんし、y=1/(x^2+1)も「上に凸な関数」ではありません。
またy=logxも「上に凸な関数」ですが、極大値はとりませんので
極大値があるかどうかとは関係ありません。

上に凸な関数とは、
グラフ上の任意の異なる2点の中点がグラフよりも下にあるような関数
（広義ではグラフの線上を含み、狭義では線上を含まない）
です。
感覚的に言うと、xが小さい方から大きい方に向かってグラフの線上を
進むとき、「常に右カーブしているようなグラフ」です。
上に例を挙げたf(x)=1/(x^2+1)は、x=0付近（-1/√3＜x＜1/√3の範囲）では
これに該当しますので「x=0付近では上に凸」とは言えますが、
他の部分で「下に凸」ですから「上に凸な関数」ではありません。

上に凸な関数は、微分可能ならば
「二階微分が常に負（広義では0を含み、狭義でも単独な点での0は含む）」
となりますので、二階微分で判別できます。

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■50124 / ResNo.6)

　Re[6]: 増減表の作り方

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□投稿者/ 画宇巣一般人(6回)-(2019/10/25(Fri) 13:25:16)

> 上に凸な関数とは、
> グラフ上の任意の異なる2点の中点がグラフよりも下にあるような関数
> （広義ではグラフの線上を含み、狭義では線上を含まない）
> です。

　いやぁ、知らなかった、知らなかった、知らなかった！！！

　　y=logxが上に凸な関数
であるとは思ってみたこともなく
　　y=x^3-3x
は上に凸、下に凸がそれぞれ1カ所ある関数だと思っていました（笑）。

　丁寧な解説まことにありがとうございました。深く深く感謝いたします。

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