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No46897 の記事


■46897 / )  Re[2]: 角谷・コラッツ
□投稿者/ CEGIPO 一般人(14回)-(2015/02/27(Fri) 15:10:49)
    返信遅くなりました。みずきさん、回答ありがとうございます。

    みずきさんの回答で

    →{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
    ...と
    →{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]

    の箇所がすぐにわからなかったので自分で補題を考えてみました。

    あ)
    {3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2
    ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n-1)・3^1-1}/2
    ={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n)-1}/2

    3^(2n)+1≡2(mod.4)を数学的帰納法で示します。

    n=1の時3^(2・1)+1=10≡2(mod.4)で明らか

    次に
    n=kの時3^(2k)+1≡2(mod.4)が成立していたとすると

    3^(2(k+1))+1=9{3^(2k)}+1=9{3^(2k)+1}-8≡9*2-8≡2(mod.4)
    よって成り立つ。

    い)
    {3^(2n)・(4k-3)-1}/2
    ={3^(2n)・(4k)-3^(2n)・3^1-1}/2
    ={3^(2n)・(4k)-3^(2n+1)-1}/2

    3^(2n+1)+1≡0(mod.4)を数学的帰納法で示します。

    n=1の時3^(2・1+1)+1=28≡0(mod.4)で明らか

    次に
    n=kの時3^(2k+1)+1≡0(mod.4)が成立していたとすると

    3^(2(k+1)+1)+1=9{3^(2k+1)}+1=9{3^(2k+1)+1}-8=9*0-8≡0(mod.4)
    よって成り立つ。

    従って、[A1]、[B1]の表現(奇数、偶数)が共に成り立つことがわかりました。

    (もっと簡単に示す方法もありますか?何か定理があるとか?)



    ↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します(手抜きですみません)
    # f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
    # が成り立つことも同様に示せると思います。...の補足証明

    kを正の整数とするとき
    f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
    が成り立つことを示します。

    (4k-1)・2^(2n)-1
    ⇒3(4k-1)・2^(2n)-2
    →3(4k-1)・2^(2n-1)-1
    ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-2
    →3^2・(4k-1)・2^(2n-2)-1
    ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-2
    →3^3・(4k-1)・2^(2n-3)-1
    ・・・
    →3^(2n)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
    →{3^(2n)・(4k-1)-1}/2 [これは奇数]
    ⇒{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2[これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] ...[C1]

    一方、
    (4k-1)・2^(2n+1)-1
    ⇒3(4k-1)・2^(2n+1)-2
    →3(4k-1)・2^(2n)-1
    ⇒3^2・(4k-1)・2^(2n)-2
    →3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-1
    ⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-1)-2
    →3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-1
    ・・・
    →3^(2n+1)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n+1個]
    →{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2 [これは偶数]...[D1]

    [C1]と[D1]の式が同型でそこに至るまでに現れる⇒の数も同じ

    ということでよいでしょうか?読みにくくてすみません。
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