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■46897

　Re[2]: 角谷・コラッツ

□投稿者/ CEGIPO -(2015/02/27(Fri) 15:10:49)

返信遅くなりました。みずきさん、回答ありがとうございます。

みずきさんの回答で

→{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2 [これは奇数]...[A1]
...と
→{3^(2n)・(4k-3)-1}/2 [これは偶数].....[B1]

の箇所がすぐにわからなかったので自分で補題を考えてみました。

あ）
{3^(2n-1)・(4k-3)-1}/2
={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n-1)・3^1-1}/2
={3^(2n-1)・(4k)-3^(2n)-1}/2

3^(2n)+1≡2(mod.4)を数学的帰納法で示します。

n=1の時3^(2・1)+1=10≡2(mod.4)で明らか

次に
n=kの時3^(2k)+1≡2(mod.4)が成立していたとすると

3^(2(k+1))+1=9{3^(2k)}+1=9{3^(2k)+1}-8≡9*2-8≡2(mod.4)
よって成り立つ。

い）
{3^(2n)・(4k-3)-1}/2
={3^(2n)・(4k)-3^(2n)・3^1-1}/2
={3^(2n)・(4k)-3^(2n+1)-1}/2

3^(2n+1)+1≡0(mod.4)を数学的帰納法で示します。

n=1の時3^(2・1+1)+1=28≡0(mod.4)で明らか

次に
n=kの時3^(2k+1)+1≡0(mod.4)が成立していたとすると

3^(2(k+1)+1)+1=9{3^(2k+1)}+1=9{3^(2k+1)+1}-8=9*0-8≡0(mod.4)
よって成り立つ。

従って、[A1]、[B1]の表現（奇数、偶数）が共に成り立つことがわかりました。

（もっと簡単に示す方法もありますか？何か定理があるとか？）

↓↓↓以下、みずきさんの回答をそのまま真似て証明を補足します（手抜きですみません）
# f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
# が成り立つことも同様に示せると思います。...の補足証明

kを正の整数とするとき
f((4k-1)・2^(2n)-1)=f((4k-1)・2^(2n+1)-1)
が成り立つことを示します。

(4k-1)・2^(2n)-1
⇒3(4k-1)・2^(2n)-2
→3(4k-1)・2^(2n-1)-1
⇒3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-2
→3^2・(4k-1)・2^(2n-2)-1
⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-2
→3^3・(4k-1)・2^(2n-3)-1
・・・
→3^(2n)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n個]
→{3^(2n)・(4k-1)-1}/2 [これは奇数]
⇒{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2[これは偶数でここまでに⇒は2n+1個] ...[C1]

一方、
(4k-1)・2^(2n+1)-1
⇒3(4k-1)・2^(2n+1)-2
→3(4k-1)・2^(2n)-1
⇒3^2・(4k-1)・2^(2n)-2
→3^2・(4k-1)・2^(2n-1)-1
⇒3^3・(4k-1)・2^(2n-1)-2
→3^3・(4k-1)・2^(2n-2)-1
・・・
→3^(2n+1)・(4k-1)・2^0-1 [これは偶数でここまでに⇒は2n+1個]
→{3^(2n+1)・(4k-1)-1}/2 [これは偶数]...[D1]

[C1]と[D1]の式が同型でそこに至るまでに現れる⇒の数も同じ

ということでよいでしょうか？読みにくくてすみません。

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