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極限 /waka (24/01/17(Wed) 18:51) #52456
`├` Re[1]: 極限 /X (24/01/17(Wed) 19:14) #52457
`└` Re[1]: 極限 /WIZ (24/01/17(Wed) 20:59) #52458
`└` Re[2]: 極限 /X (24/01/18(Thu) 06:18) #52459

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■52456 / 親階層)

　極限

□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2024/01/17(Wed) 18:51:22)

極限の問題です。

lim[x→∞]x^(1/x)
ロピタルの定理を使わずに解いていただけますか。
よろしくお願いいたします。

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▲[ 52456 ] / 返信無し

■52457 / 1階層)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ X 一般人(8回)-(2024/01/17(Wed) 19:14:51)

f(x)=√x-logx
と置くと
f'(x)=1/(2√x)-1/x=(√x-2)/(2x)
∴4≦xにおいて
f(x)≧f(4)=2-log2＞0
∴logx＜√x (4≦x)
となるので
0＜(logx)/x＜1/√x (4≦x)
∴はさみうちの原理により
lim[x→∞](logx)/x=0
となるので
(与式)=lim[x→∞]e^{(logx)/x}=1

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▲[ 52456 ] / ▼[ 52459 ]

■52458 / 1階層)

　Re[1]: 極限

□投稿者/ WIZ 一般人(20回)-(2024/01/17(Wed) 20:59:57)

> Xさん

結果に偶然影響はないですが、計算間違いをされています。
> f(x)≧f(4)=2-log2＞0
f(x) ≧ f(4) = (√4)-log(4) = 2-2log(2) > 0

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■52459 / 2階層)

　Re[2]: 極限

□投稿者/ X 一般人(9回)-(2024/01/18(Thu) 06:18:02)

＞＞WIZさんへ
ご指摘ありがとうございます。

＞＞wakaさんへ
ごめんなさい。WIZさんの仰る通りです。

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