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複素数 /はんなり (23/12/28(Thu) 17:21) #52416
`└` Re[1]: 複素数 /X (23/12/29(Fri) 20:07) #52419
`└` Re[2]: 複素数 /はんなり (24/01/01(Mon) 14:13) #52434 解決済み!

親記事　/ ▼[ 52419 ]

■52416 / 親階層)

　複素数

□投稿者/ はんなり一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)

α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

教えて下さい。

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▲[ 52416 ] / ▼[ 52434 ]

■52419 / 1階層)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)

2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

条件から
d[k]=|(1+α^k)/2|
∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
=(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
=(1/4){2+α^k+\(α^k)}
更にθ=2π/11と置くと
d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
={cos(kθ/2)}^2
ここでk=1,2,3,4,5より
kθ/2＜π/2
∴d[k]=cos(kθ/2)
となるので
e^(iθ/2)=β
と置くと
β^11=-1
d[k]=(β^k+1/β^k)/2
よって
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1～5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
=(1/2)Σ[k=1～5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
=(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
=(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
=(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
=(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
=1/2

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▲[ 52419 ] / 返信無し

■52434 / 2階層)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ はんなり一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)

ありがとうございました！

解決済み!

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