| # 証明できたような気がしますが、あまり自信がないので識者の方のツッコミをお願いします。
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。 素数pは正の整数とします。
x ≡ 0 (mod p)または、x+1 ≡ 0 (mod p)つまりx ≡ -1 (mod p)の場合、 (x+1)^n-x^nがpで割り切れないことは容易に分かるので、 以下でxは法pで0にも-1にも合同でない整数とします。
xの法pで(剰余体Z/pZで)の逆元をyとします。つまりxy ≡ 1 (mod p)です。 xは法pで0に合同ではないので、このようなyは必ず存在し、剰余類としては唯一に定まります。 また、yも法pで0に合同ではありません。 更に、xは法pで-1に合同ではないのと、-1の逆元は-1であることから、yは-1に合同ではありません。 # 合同でない2つの剰余類の逆元同志も合同にはならない為。
(x+1)^n-x^n = rとおくと、 ⇒ (y(x+1))^n-(yx)^n ≡ (y^n)r (mod p) ⇒ (1+y)^n-1 ≡ (y^n)r (mod p) つまり、r ≡ 0 (mod p)であることと、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは同値です。
yは法pで0にも-1にも合同ではないので、1+yは法pで1にも0にも合同ではありません。 よって、1 < m ≦ p-1である自然数mが存在して、(1+y)^m ≡ 1 (mod p)となります。 尚、mは(1+y)^m ≡ 1 (mod p)を満たす最小の自然数とします。 # 上記はフェルマーの小定理の応用で、mはp-1の約数となります。
(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であるためにはnがmの倍数であることが必要です。 しかし、nの最小因数がpであり、1 < m < pであるため、nはmで割り切れません。
以上から、(1+y)^n ≡ 1 (mod p)であることは不可能であり、 (x+1)^n-x^n = r ≡ 0 (mod p)であることも不可能と言えます。
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