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整数ですか？ /整数 (23/03/07(Tue) 16:03) #52127
`└` Re[1]: 整数ですか？ /らすかる (23/03/07(Tue) 19:31) #52128
`└` Re[2]: 整数ですか？ /整数 (23/03/08(Wed) 09:40) #52129 解決済み!

親記事　/ ▼[ 52128 ]

■52127 / 親階層)

　整数ですか？

□投稿者/ 整数一般人(1回)-(2023/03/07(Tue) 16:03:40)

$2$a, \, b, \, c$ は整数で、 $2$a=b=c$ ではないとします。
$2$ \frac{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4}$
は整数ですか？

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▲[ 52127 ] / ▼[ 52129 ]

■52128 / 1階層)

　Re[1]: 整数ですか？

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2023/03/07(Tue) 19:31:04)

(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7 = 7(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
なので
{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}/{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4} = (7/2)(a-b)(b-c)(c-a)
であり、a-b,b-c,c-aのうち少なくとも一つは偶数なので、与式は整数になります。

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▲[ 52128 ] / 返信無し

■52129 / 2階層)

　Re[2]: 整数ですか？

□投稿者/ 整数一般人(2回)-(2023/03/08(Wed) 09:40:53)

ありがとうございます。

解決済み!

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