| 2024/01/07(Sun) 12:02:47 編集(投稿者)
べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。 不定積分を計算してから、定積分の値を求めます。
F(x) = ∫{(x^2)/√(x^2+x+4)}dxとおきます。
t-x = √(x^2+x+4)とおくと、 ⇒ t^2-2tx+x^2 = x^2+x+4 ⇒ t^2-4 = (2t+1)x・・・(1)
2t+1 = 0、つまりt = -1/2と仮定すると、 t^2-2tx+x^2 = 1/4+x+x^2 = x^2+x+4 ⇒ 1/4 = 4 と不条理なのでt ≠ -1/2です。
よって、(1)より、 x = (t^2-4)/(2t+1)・・・(2)
(2)より、 √(x^2+x+4) = t-x = t-(t^2-4)/(2t+1) = (t^2+t+4)/(2t+1)・・・(3)
(2)(3)より、 (x^2)/√(x^2+x+4) = (((t^2-4)/(2t+1))^2)/((t^2+t+4)/(2t+1)) = {(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}・・・(4)
(2)より、 dx/dt = {(2t)(2t+1)-(t^2-4)(2)}/{(2t+1)^2} = (2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}・・・(5)
(4)(5)より、 F(x) = ∫{{(t^2-4)^2}/{(t^2+t+4)(2t+1)}}{(2t^2+2t+8)/{(2t+1)^2}}dt = ∫{2{(t^2-4)^2}/{(2t+1)^3}}dt・・・(6)
u = t+1/2、つまりt = u-1/2とおくと、du = dtで、(6)は、 F(x) = ∫{2{((u-1/2)^2-4)^2}/{(2u)^3}}du = (1/4)∫{{((u^2-u+1/4)-4)^2}/{u^3}}du = (1/4)∫{{(u^2-u-15/4)^2}/{u^3}}du = (1/4)∫{{u^4-2u^3-(13/2)u^2+(15/2)u+225/16}/{u^3}}du = (1/64)∫{16u-32-104/u+120/u^2+225/u^3}du = (1/64){8u^2-32u-104log(|u|)-120/u-(225/2)/u^2} = (1/128){16u^2-64u-208log(|u|)-240/u-225/u^2}・・・(7)
計算過程で良く出てくる式を、u = t+1/2 = 1/2+x+√(x^2+x+4) = g(x)とおきます。
-1 ≦ x ≦ 0なので、x+√((x+1/2)^2+15/4) ≧ -1+(√15)/2 > 0より、 log(|u|) = log(1/2+x+√(x^2+x+4)) = log(g(x))・・・(9)
(7)(8)(9)より、 F(x) = (1/128){16g(x)^2-64g(x)-208log(g(x))-240/g(x)-225/g(x)^2}
g(0) = 1/2+0+√4 = 5/2 ⇒ F(0) = (1/128){16(5/2)^2-64(5/2)-208log(5/2)-240/(5/2)-225/(5/2)^2} = (1/128){100-160-208log(5/2)-96-36} = -(13/8)log(5/2)-3/2
g(-1) = 1/2-1+√((-1)^2+(-1)+4) = 3/2 ⇒ F(-1) = (1/128){16(3/2)^2-64(3/2)-208log(3/2)-240/(3/2)-225/(3/2)^2} = (1/128){36-96-208log(3/2)-160-100} = -(13/8)log(3/2)-5/2
よって、 F(0)-F(-1) = {-(13/8)log(5/2)-3/2}-{-(13/8)log(3/2)-5/2} = (13/8)log(3/5)+1
以上から、∫[-1, 0]{(x^2)/√(x^2+x+4)}dx = (13/8)log(3/5)+1となります。 # 計算間違いしている可能性がありますので、質問者さんの方で良く検算してみてください!
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