| こんにちは^^
これは面白い問題ですね。 たとえばこんな関数はどうでしょうか。
f(√2)=eとし、x≦0およびx≧4ではf(x)=xとします。
以下、残りの部分を定義していきます。まず、
@ m/2^k(m,kは非負整数)
の形の数のうち√2を超えない最大のものをP(k)とし、 各P(k)のうち重複するものを除いてn番目に小さい数をA(n)とおきます。
また@の形の数のうち√2より大きい最小の数をQ(k)とし、 そのうち重複するものを除いてn番目に大きい数をB(n)とおきます。
eについても同様に、@の形の数のうちeを超えない最大の数をR(k)とし、 そのうち重複するものを除いてn番目に小さい数をC(n)とおきます。
さらに、@の形の数のうちeより大きい最小の数をS(k)とし、 そのうち重複するものを除いてn番目に大きい数をD(n)とします。
区間[0,A(1)]においてはfをf(0)=0,f(A(1))=C(1),となる1次関数とし、 [A(1),A(2)]においてはf(A(1))=C(1),f(A(2))=C(2)となる1次関数とします。
以下同様に、[A(r),A(r+1)]においては f(A(r))=C(r),f(A(r+1))=C(r+1)となる1次関数として定義していきます。
また区間[B(1),4]においてはf(B(1))=D(1),f(4)=4となる1次関数とし、 [B(2),B(1)]においてはf(B(2))=D(2),f(B(1))=D(1)となる1次関数とします。
以下同様に、[B(r+1),B(r)]においては f(B(r+1))=D(r+1),f(B(r))=D(r)となる1次関数として定義していきます。
以上でfが定義できました。 区分けして定義した各区間においてfは有理数係数の(定数ではない)1次式になっているので 有理数に対しては有理数,無理数に対しては無理数の値をとります。 しかもf(√2)の値eは超越数です。
ということで、一応例が示されたのではないかと思います。 以上の内容がご参考になれば幸いです。 ではでは☆
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