| こんにちは☆
見たところ、条件が「あるzについて、wが外接円上にある」という意味ならば 述べられている結論は成り立たないようなので、 題意としては「α,β,zが三角形の位置をなす任意のzについて」 wが外接円上にあるという意味だと推測されます。 そのような意味であるとして考えてみました。
*****
α,β,z,wが共円なので、∠αwβ=∠αzβまたは ∠αwβ+∠αzβ=πです。 これらの条件は
(w−α)/(w−β)=r(z−α)/(z−β) (r:実数)
と表されます。分母をはらうと
(w−α)(z−β)=r(z−α)(w−β)
整理すると
[r(z−α)−(z−β)]w=rβ(z−α)−α(z−β)
ここで、w=f(z)=(az−b)/(z+a−c)を 上式に代入して分母をはらうと
@ [r(z−α)−(z−β)](az−b) =[rβ(z−α)−α(z−β)](z+a−c)
左辺−右辺はzの2次式で、これが恒等的に0になることから 2次の係数も0です。すなわち
(r−1)a−(rβ−α)=0
r=1ならα=βとなって仮定に反するのでr≠1です。
よって上式から
a=rβ/(r−1)−α/(r−1)
となります。この式はaがα,βを結んだ直線上にあることを示しています。 (sα+tβ,s+t=1の形なので、 ベクトルとして見ると直線上にあることが明らかです)
*****
これで一応示せているとは思いますが、f(α)=α,f(β)=βの 条件は不必要なので、不可解です。
かといって、「あるzについてwが外接円上にある」というのでは rが直線αβ上になくても2次方程式@の解となるzについては 条件が満たされることになります。
もしかすると私が何か勘違いしているのかもしれませんが、 一応、上のような解答を考えてみました。 ご参考になれば幸いです。 ではでは☆
|