数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[13]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■9691 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ サクラギン一般人(1回)-(2006/02/28(Tue) 17:12:16)

すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
1+1/2+1/2+・・・+1/n≧2n/(n+1)
k+1でも成り立つことを証明するために両辺に1/(k+1)と-{2(k+1)/(k+1)+1}をいれるんですがどうしてこういう方法をとるんでしょうか？
1/(k+1)と-{2(k+1)/(k+1)+1}をいれる、というのが私には思いつけないんですが
練習量が増えればこういう問題もひらめくようになるのでしょうか？
どなたか御願いします。

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■9697 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ 迷える子羊軍団(132回)-(2006/03/01(Wed) 06:08:00)

> すべての自然数nに対して次の不等式が成り立つことを示せ。
1+1/2+1/3+・・・+1/n≧2n/(n+1)・・・・・・・・・・・・・・・・・（迷える子羊）
> k+1でも成り立つことを証明するために両辺に1/(k+1)と-{2(k+1)/(k+1)+1}をいれるんですがどうしてこういう方法をとるんでしょうか？
> 1/(k+1)と-{2(k+1)/(k+1)+1}をいれる、
それは、なかなか思いつかないですね。
>というのが私には思いつけないんですが
その通り。以下に略解を書いておきます。

n=1のとき（迷える子羊）は成り立つ。
kを自然数として、n=kの時、（迷える子羊）の成立を仮定すると、n=k+1の時、迷える子羊の
(左辺)-(右辺)
=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
=・・・・・・
=k/{(k+1)(k+2)}>0

帰納法の考え方は■No9608を参考にして下さい。

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■9760 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(2回)-(2006/03/03(Fri) 13:39:30)

ありがとうございました
>(左辺)-(右辺)
>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　←この式は上の式の左辺ですか？　

>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　の左辺を計算して0より大きいと
判断することが何故k=1の成立をなすのでしょうか？
0より大きいと言うことは右辺より大きいと言う可能性を秘めているのではないでしょうか？

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■9761 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ X 大御所(391回)-(2006/03/03(Fri) 14:17:36)

2006/03/03(Fri) 14:18:46 編集(投稿者)

横から失礼します。
＞＞サクラギンさんへ
>(左辺)-(右辺)
>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　←この式は上の式の左辺ですか？　
違います。上の不等式の右辺である
2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
ですよ。

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■9956 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(4回)-(2006/03/09(Thu) 15:41:53)

ごめんなさい。うっかりしてました。
左辺と右辺を間違えて書いてました。
質問は正しくはこうです。

ありがとうございました
>(左辺)-(右辺)
>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　←この式は上の式の右辺で　

>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　の右辺を計算して0より大きいと
判断することが何故k=1の成立をなすのでしょうか？
0より大きいと言うことは左辺より大きいと言う可能性を秘めているのではないでしょうか？
つまるところ、どうして小さいほうの右辺を計算してしまうのか、と。右辺が0より大きいと証明したならば、左辺はその右辺よりも大きい（あるいは同じ）と計算しないといけないんではないでしょうか？
教えてください。

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■9957 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ せら一般人(16回)-(2006/03/09(Thu) 16:20:41)

2006/03/09(Thu) 16:47:52 編集(投稿者)

■No9956に返信(サクラギンさんの記事)
> ごめんなさい。うっかりしてました。
> 左辺と右辺を間違えて書いてました。
> 質問は正しくはこうです。
>
> ありがとうございました
> >(左辺)-(右辺)
> >=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
> >≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
> >=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　←この式は上の式の右辺で

「上の式」というのは「（左辺）－（右辺）≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)」のことですよね。
上の議論で何がわかったかといえば，結局
（最初の左辺）－（最初の右辺）≧０
がわかったわけです。となれば，移項してやれば
（最初の左辺）≧（最初の右辺）
ですよね。

不等式を証明するときに、Ａ＞ＢのかわりにＡ－Ｂ＞０を示す，というのはよくある手法ですので，意識しておくといいですよ。

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■10108 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(6回)-(2006/03/14(Tue) 18:45:18)

ごめんなさい。もう一度だけたずねさせてください。

僕の頭ではこうなっています
左辺がまず、1+1/2+1/3+・・・+1/n
右辺が2n/(n+1)
これらにn=k+1が加わる
左辺が1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)
右辺が{2(k+1)/{(k+1)+1}
ここから左辺-右辺をするってころですか？
> >=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
> >≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)←これは最初の左辺に1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　を加えたものだと思っています。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　最初の左辺+1/(k+1)より大きくありません　　　　　　　　　　　　　　　　　　か？
> >=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)　

物分りが悪くてすみません！！
おねがいします！！

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■10131 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ 迷える子羊軍団(136回)-(2006/03/15(Wed) 00:51:57)

■No10108に返信(サクラギンさんの記事)
> ごめんなさい。もう一度だけたずねさせてください。
>
> 僕の頭ではこうなっています
> 左辺がまず、1+1/2+1/3+・・・+1/n
> 右辺が2n/(n+1)
> これらにn=k+1が加わる
> 左辺が1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)
> 右辺が{2(k+1)/{(k+1)+1}
> ここから左辺-右辺をするってころですか？
そうですね。それでＯＫですよ。
>>>=1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
>>>≧2k/(k+1)+1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)←これは最初の左辺に1/(k+1)-2(k+1)/(k+2)
> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　を加えたものだと思っています。
> 　　　　　　　　　　　　　　　　　　最初の左辺+1/(k+1)より大きくありませんか？
>>>=(2k+1)/(k+1)-2(k+1)/(k+2)

両辺に「あるもの」を加えてどうのこうのするやり方はお勧めできないです。サクラギンさんは無理にそのように解きたがっていますが・・・。
加えるっていうか、いつも足すとは限らないですよ？■No9608を読んで帰納法の考え方は理解できましたか？
まず先頭の成立を示しておく。次に、k番目の成立を仮定した時、k+1番目が成立することを示すのです。

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■10241 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(13回)-(2006/03/19(Sun) 14:38:09)

何度も質問してすみません。
> 僕の頭ではこうなっています
> 左辺がまず、1+1/2+1/3+・・・+1/n
> 右辺が2n/(n+1)
> これらにn=k+1が加わる
> 左辺が1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)
> 右辺が{2(k+1)/{(k+1)+1}
> ここから左辺-右辺をするってころですか？
そうですね。それでＯＫですよ。

とすると、僕の頭では、
左辺は1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)だから、全て足すと{2/(k+1)(k+2)}になりますよね？
それで右辺は(2k+2)/(k+2)
左辺-右辺をすると、{2/(k+1)(k+2)}-[{(2k+2)(k+1)}/{(k+1)(k+2)}]
となり、左辺の合計した数のほうが右辺の合計した数より小さいと言う結果になってしまわないでしょうか？
ここで悩んでいます。
どなたかおねがいします。

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■10245 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 数学的帰納法

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(139回)-(2006/03/19(Sun) 15:55:38)

■No10241に返信(サクラギンさんの記事)
> 何度も質問してすみません。
>>僕の頭ではこうなっています
>>左辺がまず、1+1/2+1/3+・・・+1/n
>>右辺が2n/(n+1)
>>これらにn=k+1が加わる
>>左辺が1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)
>>右辺が{2(k+1)/{(k+1)+1}
>>ここから左辺-右辺をするってころですか？
>>そうですね。それでＯＫですよ。
>
> とすると、僕の頭では、
> 左辺は1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)だから、全て足すと{2/(k+1)(k+2)}になりますよね？
なりません。試しにk=1とかk=2などとしてみて下さい。違うということがすぐ分かると思います。

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■10278 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(15回)-(2006/03/20(Mon) 15:34:20)

> 左辺は1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)だから、全て足すと{2/(k+1)(k+2)}になりますよね？
なりません。試しにk=1とかk=2などとしてみて下さい。違うということがすぐ分かると思います。

あれ？？おかしいな。じゃあ、左辺の合計はいくらになるんでしょうか？
1から1/kまでを計算して1/(k+1)を足すというやりかたでいいのかなー
なんかこんがらがってきました。
左辺の合計を教えてもらえないでしょうか？

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■10280 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 数学的帰納法

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□投稿者/ 迷える子羊軍団(140回)-(2006/03/20(Mon) 15:45:34)

■No10278に返信(サクラギンさんの記事)
>>左辺は1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)だから、全て足すと{2/(k+1)(k+2)}になりますよね？
>>なりません。試しにk=1とかk=2などとしてみて下さい。違うということがすぐ分かると思います。
> あれ？？おかしいな。じゃあ、左辺の合計はいくらになるんでしょうか？
> 1から1/kまでを計算して1/(k+1)を足すというやりかたでいいのかなー
> なんかこんがらがってきました。
> 左辺の合計を教えてもらえないでしょうか？
1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)　というのは値がでないのではないでしょうか？
つまり、∑[n=1→k+1]1/n　はkなどを用いて表すことができないと思います。
なぜ、{2/(k+1)(k+2)}　となるのでしょうか？教えて下さい。
k=1とした時、
左辺は1+1/2=3/2　右辺は{2/(1+1)(1+2)}=3となりますね？さらに、
k=2とした時、
左辺は1+1/2+1/3=11/6、右辺は{2/(2+1)(2+2)}=8/3となり、
1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)={2/(k+1)(k+2)}になりませんよ？

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■10283 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 数学的帰納法

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□投稿者/ サクラギン一般人(18回)-(2006/03/20(Mon) 15:56:00)

{2/(k+1)(k+2)}　は1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)の逆数を取って
1+2+3+...+k+(k+1)と考えて、その合計は(n+1)(n+2)/2だから
それをまた逆にして、2/(n+1)(n+2)となります。
自信あったんだけど、まったく間違っていて左辺の合計がなにやら・・さっぱり。
もうすこし落ち着いてから考えてみます。
右辺の合計はあってるんですよね？
じゃああとは左辺の合計を考えればこの問題にも片がつきますね。

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■10284 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ サクラギン一般人(19回)-(2006/03/20(Mon) 15:59:05)

ああ、左辺の合計は考えられないのですね。

1+1/2+1/3+・・・+1/k+1/(k+1)　というのは値がでないのではないでしょうか？
つまり、∑[n=1→k+1]1/n　はkなどを用いて表すことができないと思います。

では俺の考え方は根本から間違っていたのでしょうか・・・
うう、左辺のほうが小さい結果しか出なかったのは確かにおかしいですね。
もうちょっと考えてきます。

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