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■53031 / inTopicNo.1) 　極限
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□投稿者/ 鯖 一般人(1回)-(2026/01/31(Sat) 18:59:25)
    lim[n→∞]∫[1→2](cos(nθ)/θ)^2dθ を教えて下さい。
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■53033 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 極限
□投稿者/ X 一般人(1回)-(2026/02/15(Sun) 11:19:31)
    半角の公式と部分積分により
    ∫[1→2]{(cos(nθ)/θ)^2}dθ=(1/2)∫[1→2]{1+cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =(1/2)∫[1→2]dθ/θ^2+(1/2)∫[1→2]{{cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =1/4+(1/2)∫[1→2]{{cos(2nθ)}/θ^2}dθ
    =1/4+(1/2)[{sin(2nθ)}/(2nθ^2)][1→2]+{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ
    =1/4+{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ (A)

    ここでn→∞を考えるのでn＞0と考えてもよく、また
    -1≦sin(2nθ)≦1
    なので、
    -{1/(2n)}∫[1→2]dθ/θ^3≦{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ≦{1/(2n)}∫[1→2]dθ/θ^3
    ∴-3/(16n)≦{1/(2n)}∫[1→2]{{sin(2nθ)}/θ^3}dθ≦3/(16n) (B)

    (A)(B)から、はさみうちの原理により
    (与式)=1/4
    となります。
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