 | べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
φ(bc)は自然数ですから、
a^φ(bc) ≡ 0 (mod a)
cとaは互いに素であり、オイラーのトーシェント関数の性質より
b^φ(ca) = (b^φ(a))^φ(c) ≡ 1^φ(c) ≡ 1 (mod a)
同様にaとbも互いに素なので
c^φ(ab) = (c^φ(a))^φ(b) ≡ 1^φ(b) ≡ 1 (mod a)
以上から
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 0+1+1 ≡ 2 (mod a)
bとcを法とした場合も同様に
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 1+0+1 ≡ 2 (mod b)
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 1+1+0 ≡ 2 (mod c)
・・・なので、中国剰余定理を持ち出すまでもなく、
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 2 (mod abc)
と言えます。
しかしながら a ≦ 2 の場合は
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ 2 ≡ 0 (mod a)
とも言えますので、厳密には以下の通りです。
整数xを a ≦ 2 なら x = 0、a > 2 なら x = 2、
整数yを b ≦ 2 なら y = 0、b > 2 なら y = 2、
整数zを c ≦ 2 なら z = 0、c > 2 なら z = 2 とします。
aとbcは互いに素なので、ある整数(自然数とは限らない)pとuが存在して
pa+ubc = 1 とできます。
bとcaは互いに素、cとabも互いに素なので、ある整数q, v, r, wが存在して、
qb+vca = rc+wab = 1 とできます。
すると、
a^φ(bc)+b^φ(ca)+c^φ(ab) ≡ xubc+yvca+zwab (mod abc)
となる訳ですが、何だか上記の式の右辺は分かりづらいですね。
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