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■52423 / inTopicNo.1)  極限の問題2
  
□投稿者/ むぎ 一般人(2回)-(2023/12/30(Sat) 17:08:57)
    この問題の解法を教えていただきたいです
1907×860 => 250×112

S__137854994_0.jpg
/125KB
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■52427 / inTopicNo.2)  Re[1]: 極限の問題2
□投稿者/ WIZ 一般人(15回)-(2023/12/30(Sat) 17:33:48)
    2023/12/30(Sat) 22:36:53 編集(投稿者)

    πを以下の様な無限級数と考えます。
    π = 3.1415・・・
    = 3+1/10+4/(10^2)+1/(10^3)+5/(10^4)+・・・

    ここでπを10進小数で表した時の各桁の数字を数列と見なし、
    a[0] = 3, a[1] = 1, a[2] = 4, a[3] = 1, a[4] = 5, ・・・
    とすれば、
    π = Σ[k=0,∞]{a[k]/(10^k)} = Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}
    と表せます。

    lim[n→∞]{[(10^n)π]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{[(10^n)Σ[k=0,∞]{a[k](10^(-k))}]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}

    ガウスの記号の中の小数部分、つまり正で1未満となる部分は無視できますから、
    # 厳密には、lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}において、
    # k > nの部分の和は、
    # Σ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))} < Σ[k=1,∞]{9*(10^(-k))} = 9*(1/10)/(1-(1/10)) = 1
    # なので、ガウスの記号内のΣ[k=n+1,∞]{a[k](10^(n-k))}の値は無視できるということです。

    lim[n→∞]{[Σ[k=0,∞]{a[k](10^(n-k))}]/(10^n)}
    = lim[n→∞]{(Σ[k=0,n]{a[k](10^(n-k))})/(10^n)}
    = lim[n→∞]{Σ[k=0,n]{a[k](10^(-k))}}
    = π
    となります。


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