 | ガウスの三角数定理「全ての自然数は3個以下の三角数の和に表せる」の証明ですが
ガウス整数論の二次形式論(三元二次形式)から帰結される
三平方和定理「mとkを非負整数とし(4^m)(8k+7)の形に表せない自然数は3個以下の自然数の平方の和に表せる」
を根拠としているものしか見つけられませんでした。
二次形式論を使用しない初等的な証明はないのでしょうか?
(三角数定理または三平方和定理の初等的な証明は存在するのでしょうか?)
もう一つ「全ての自然数が3個以下の三角数の和」かつ「自然数は乗法に閉じている」ことから
「3個以下の三角数の和に表せる数は乗法に閉じている」といえると思います。
このことを直接証明することはできるのでしょうか?
n,u,a,b,c,v,p,q,rは非負整数としてT(n)=n(n+1)/2とおきます。
u=T(a)+T(b)+T(c),v=T(p)+T(q)+T(r)ならば
uv=T(x)+T(y)+T(z)となる非負整数x,y,zは存在すると言えるでしょうか?
よろしくお願いいたします。
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