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■52355 / inTopicNo.1)  定積分
  
□投稿者/ cysteine 一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 19:36:08)
    ∫[0→π] (√sinθ) sin(θ/2) dθ
    の求め方をご教示下さい
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■52365 / inTopicNo.2)  Re[1]: 定積分
□投稿者/ X 一般人(10回)-(2023/10/13(Fri) 19:15:19)
    ガリガリ解くと以下の通りです。
    (お勧めはできませんが。)

    tan(θ/2)=t
    と置くと、
    θ:0→π

    t:0→∞
    が対応し、
    sinθ=2t/(1+t^2)
    sin(θ/2)=t/√(1+t^2)
    dθ=2dt/(1+t^2)
    ∴(与式)=2√2∫[t:0→∞]{(t√t)/(1+t^2)^2}dt
    更に
    √t=u
    と置くと
    t=u^2
    dt=2udu

    (与式)=4√2∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
    =4√2{∫[u:0→∞]du/(1+u^4)-∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2} (A)
    ここで
    I=∫[u:0→∞]du/(1+u^4) (B)
    とすると
    I=[u/(1+u^4)][u:0→∞]+4∫[u:0→∞]{(u^4)/(1+u^4)^2}du
    =4I-4∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2
    ∴∫[u:0→∞]du/(1+u^4)^2=(3/4)I
    となるので(A)(B)から
    (与式)=(√2)∫[u:0→∞]du/(1+u^4)

    さて、
    1+u^4=(1+u^2)^2-2u^2
    =(u^2+u√2+1)(u^2-u√2+1)
    に注意すると
    1/(1+u^4)=(au+b)/(u^2+u√2+1)+(cu+d)/(u^2-u√2+1) (C)
    (a,b,c,dは定数)
    の形に部分分数分解でき、(C)の右辺を通分すると
    ((C)の右辺を通分したときの分子)=(u^2-u√2+1)(au+b)+(u^2+u√2+1)(cu+d)
    =(a+c)u^3+(b+d-a√2+c√2)u^2+(a+c-b√2+d√2)u+b+d
    ∴(C)の両辺の係数比較により
    a+c=0 (D)
    b+d-a√2+c√2=0 (E)
    a+c-b√2+d√2=0 (F)
    b+d=1 (G)
    (D)(E)(F)(G)を連立で解いて
    (a,b,c,d)=(1/(2√2),1/2,-1/(2√2),1/2)

    ∴1/(1+u^4)=(u/√2+1)/{2(u^2+u√2+1)}+(-u/√2+1)/{2(u^2-u√2+1)}
    となるので
    (与式)=(1/2)∫[u:0→∞]{(u+√2)/(u^2+u√2+1)-(u-√2)/(u^2-u√2+1)}du
    =(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+2√2)/(u^2+u√2+1)-(2u-2√2)/(u^2-u√2+1)}du
    =(1/4)∫[u:0→∞]{(2u+√2)/(u^2+u√2+1)+(√2)/{(u+1/√2)^2+1/2}
    -(2u-√2)/(u^2-u√2+1)+(√2)/{(u-1/√2)^2+1/2}}du
    =(1/4)[log{(u^2+u√2+1)/(u^2-u√2+1)}+2arctan(u√2+1)+2arctan(u√2-1)][u:0→∞]
    =(1/4)・2π
    =π/2
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