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■52301 / inTopicNo.1)  平方数
  
□投稿者/ 鯖鮨 一般人(1回)-(2023/09/07(Thu) 01:38:28)
    整数n,x,yが|x^2-(n^2+1)y^2|<2nを満たしているとき
    |x^2-(n^2+1)y^2|が平方数になるのは何故ですか?
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■52410 / inTopicNo.2)  Re[1]: 平方数
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2023/12/12(Tue) 16:47:06)
    x, yを整数として、f(x, y) = x^2-(n^2+1)y^2とおきます。
    y = 0の場合、f(x, 0) = x^2なので、|f(x, y)| < 2nという条件に関わらず題意は成立します。
    以下、y ≠ 0つまりy^2 ≧ 1とします。

    0 ≦ |f(x, y)| < 2nなので、nは正の整数です。

    |f(x, y)| < 2n
    ⇒ -2n < x^2-(n^2+1)y^2 < 2n
    ⇒ (n^2+1)y^2-2n < x^2 < (n^2+1)y^2+2n
    ⇒ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2)
    ⇒ (n^2+1)-2n ≦ (n^2+1)-2n/(y^2) < (x/y)^2 < (n^2+1)+2n/(y^2) ≦ (n^2+1)+2n
    ⇒ (n-1)^2 < (x/y)^2 < (n+1)^2
    ⇒ n-1 < |x/y| < n+1
    ⇒ n-1 < |x|/|y| < n+1
    ⇒ (n-1)|y| < |x| < (n+1)|y|

    よって、整数rを|r| < |y|として、|x| = n|y|+rとおけます。
    また、f(±x, y) = f(|x|, y)です。

    f(x, y) = f(|x|, y) = f(n|y|+r, y)
    = (n|y|+r)^2-(n^2+1)y^2
    = ((ny)^2+2n|y|r+r^2)-(ny)^2-y^2
    = 2n|y|r+r^2-y^2
    = r^2+(nr)^2-((nr)^2-2n|y|r+y^2)
    = (n^2+1)r^2-(nr-|y|)^2
    = -f(nr-|y|, r)

    つまり、|f(x, y)| = |f(n|y|+r, y)| = |f(nr-|y|, r)|と変形できます。
    |r| < |y|だから、この変形を繰り返していけば、いずれr = 0に到達します。
    f(z, 0) = z^2なので、|f(x, y)| < 2nであれば|f(x, y)|は平方数と言えます。
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