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■52159 / inTopicNo.1)  素因数
  
□投稿者/ 柴咲コウネ 一般人(1回)-(2023/04/22(Sat) 10:49:16)
    nを自然数とし、1以上n以下の自然数kのうち
    kの最大の素因数が√kより大きい
    という性質を満たすものの個数をP(n)とします。
    lim[n→∞]P(n)/n の値とその求め方をご教示下さい。
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■52326 / inTopicNo.2)  Re[1]: 素因数
□投稿者/ WIZ 一般人(5回)-(2023/09/20(Wed) 16:04:05)
    ☆回答ではなく参考情報です。

    kの最大の素因数をqとすると、ある自然数rが存在してk = rqとなります。
    r < √k < qとなるので、1 ≦ r ≦ q-1です。
    但し、rq ≦ nとなることも必要なので、ガウスの記号を使えばr ≦ [n/q]となります。

    n以下の素数の個数は、素数計数関数π(n)個です。
    n以下の素数を昇順に並べてq[1], q[2], ・・・, q[π(n)]とすれば、
    P(n) = Σ[j=1, π(n)]min(q[j]-1, [n/q[j]])となると思います。
    # もし、上記の式が正しいと仮定しても、P(n)の具体的な値の計算には程遠いでしょうが。

    以下余談

    mを自然数として、F(m) = [cos(π((m-1)!+1)/m)^2]とおくと、
    # 上記のπは円周率を表す定数
    mが1または素数のときF(m) = 1, mが合成数のときF(m) = 0となります。

    π(n) = -1+Σ[m=1, n]F(m)となります。
    # 上記のπは素数計数関数を表す

    1 ≦ min(q[j]-1, [n/q[j]]) ≦ q[j]-1
    ⇒ π(n) ≦ Σ[j=1, π(n)]min(q[j]-1, [n/q[j]]) ≦ Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}
    ⇒ π(n)/n ≦ P(n)/n ≦ {Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}}/n

    n→∞のとき、π(n)/n→0は知られているようですが、
    {Σ[m=1, n]{(m-1)F(m)}}/nがどうなるのかは分かりませんでした。
    # 素数は平方数より密度が高いので、上記は発散する気がします。
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