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■51972 / inTopicNo.1)  距離空間
  
□投稿者/ 滝川 一般人(1回)-(2022/10/10(Mon) 14:35:01)
    dを実数のユークリッド距離とし、U={x∈R | x≧0}とする。
    d_U(x,y)=|x-y| としたとき、Uの部分集合S=[0,1]に対して、(U, d_U)において、
    Sの内部は[0,1)で、Sの境界は{1}になることはどうやって示せばよいでしょうか?
引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/
■52134 / inTopicNo.2)  Re[1]: 距離空間
□投稿者/ muturajcp 一般人(2回)-(2023/03/26(Sun) 21:19:32)
    a∈U
    ε>0
    に対して
    B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    をaのε近傍という

    G⊂U
    に対して
    任意の
    a∈G
    に対して
    B(a,ε)⊂G
    となるようなε>0が存在するとき
    GはUの開集合と定義する

    a∈[0,1)
    とする
    ε=(1-a)/2
    とする
    a<1だから
    1-a>0だから
    ε=(1-a)/2>0
    となる
    x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    とすると
    |x-a|<(1-a)/2
    0≦x<a+(1-a)/2=(1+a)/2<1
    だから
    x∈[0,1)
    だから
    B(a,ε)⊂[0,1)
    だから
    [0,1)はUの開集合となる

    任意のε>0に対して
    x=1+(ε/2)
    とすると
    |x-1|=ε/2<ε
    だから
    x∈B(1,ε)
    x>1だから
    x∈B(1,ε)-S
    だから
    B(1,ε)⊂Sでないから
    SはUの開集合でないから
    Sの内部(Sに含まれる最大開集合)は[0,1)となる

    a∈U-S
    とする
    a∈U-S={x|x>1}だから
    a>1
    となる
    ε=(a-1)/2
    とすると
    ε=(a-1)/2>0
    x∈B(a,ε)={x∈U||x-a|<ε}
    とすると
    |x-a|<(a-1)/2
    a-(a-1)/2<x
    1<(a+1)/2<x
    だから
    x∈{x|x>1}=U-S
    だから
    B(a,ε)⊂U-S
    だから
    U-SはUの開集合だから
    SはUの閉集合となる
    SはSの閉包
    {1}=S-[0,1)
    だから
    Sの境界(閉包と内部の差)は{1}

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